[論文レビュー] Instability of the periodic nonlinear Schrodinger equation

Michael Christ, J. Colliander+1 more|ArXiv.org|Nov 13, 2003

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、$ H^s $（$ s<0 $）の小さな負のソボレフ正則性における周期的非線形シュレーディンガー方程式（NLS）における極端な不安定性を示している。解写像が滑らかな初期データから分布へ連続でないことを示し、特に立方NLS（$ p=3 $）では、$ C^∞ $位相で非常に近い初期データから出発する解が、任意に小さな時間内に分布ノルムで発散することがある。五次NLS（$ p=5 $）では、$ C^∞ $から$ C^{-∞} $への解写像が一様連続でないことが判明し、古典的well-posednessを超えた安定性の崩壊を示している。

ABSTRACT

We study the periodic non-linear Schrodinger equations with odd integer power nonlinearities, for initial data which are assumed to be small in some negative order Sobolev space, but which may have large L^2 mass. These equations are known to be illposed in H^s for all negative s, in the sense that the solution map fails to be uniformly continuous from H^s to itself, even for short times and small norms. Here we show that these equations are even more unstable. For the cubic equation, the solution map is discontinuous from H^s to even the space of distributions. For the quintic and higher order nonlinearities, there exist pairs of solutions which are uniformly bounded in H^s, are arbitrarily close in any C^N norm at time zero, and fail to be close in the distribution topology at an arbitrarily small positive time.

研究の動機と目的

• 負のソボレフ空間$ H^s $（$ s<0 $）における初期データ、特に$ L^2 $ノルムが小さい場合の周期的非線形シュレーディンガー方程式（NLS）におけるill-posednessの性質を調査すること。
• 滑らかさから分布的位相への解写像が、さまざまな関数空間で連続または一様連続でないことを分析すること。
• $ p=3 $（立方）および$ p=5 $（五次）を含む、異なる非線形性における不安定性メカニズムの差を特定すること。
• 焦点を当てないNLSに対しても、解写像が分布空間で不連続になり得ることを示し、低正則性におけるwell-posednessの頑健性に疑問を呈すること。

提案手法

• 周波数0と1におけるフーリエモードを用いて、$ H^s $ノルムは小さいが$ L^2 $質量が大きな$ C^∞ $の初期データを構築する。
• 非線形項が奇数次（$ p=2m+1 $）である場合の主要な非線形相互作用を捉えるために、フーリエ係数$ a_0, a_1 $の切断されたODE系をモデル化する。
• $ a_0(t) $の位相の進化を分析し、非線形結合による急速な位相揺らぎを示し、低周波数フーリエモードでの発散を引き起こす。
• 短時間区間における完全なNLSと切断ODE系との間の誤差を摂動論的手段で制御する。
• 位相差を強化するためにスケーリングとパrameter調整（例：$ N $を大きく、$ \sigma $を小さく）を適用する。
• 初期データが$ C^∞ $で非常に近い場合でも、時間$ \delta $以内に$ \hat{u}(0) $の$ L^2 $ノルムが固定値$ \Omega(\rho) $だけ異なる解が得られることを示し、不安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的NLSの解写像は、$ s<0 $の$ H^s $から分布への写像として連続であるか、初期データが$ C^\infty $で非常に近く、$ L^2 $ノルムが小さい場合でもそうか？
• RQ2 立方NLS（$ p=3 $）において、解写像は$ H^s $から$ (C^\infty)^* $への写像として連続でないか？
• RQ3 五次NLS（$ p=5 $）において、解写像は$ C^\infty $から$ C^{-\infty} $への写像として一様連続でないか？
• RQ4 非線形位相デコherenceが低周波数モードに生じることで、任意に小さな時間内に任意に大きな分布ノルムの発散が生じ得るか、初期$ H^s $ノルムが小さいにもかかわらず？
• RQ5 非線形性の次数$ p $は、負のソボレフ空間におけるill-posednessのタイプと強度を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 立方NLS（$ p=3 $）では、解写像が$ H^s $から分布空間$ (C^\infty)^* $への写像として連続でないことが示された。これは、$ H^s $ノルムが小さい初期データに対しても同様に成立する。
• 五次NLS（$ p=5 $）では、$ t=0 $における初期データが$ C^\infty $で任意に近いにもかかわらず、任意に小さな$ t>0 $において分布位相で近いとは言えない解が存在し、$ C^\infty $から$ C^{-\infty} $への解写像の一様連続性に失敗することが証明された。
• 不安定性は、$ k=0 $モードにおける非線形結合に起因する急速な位相デコherenceに起因し、$ k=1 $モードとの結合が高周波数振動によって強化される。
• $ \hat{u}(0) $モードにおける発散は$ \Omega(\rho) $のオーダーであり、初期$ H^s $距離とは無関係に発生するため、分布位相における連続性の崩壊が明確に示された。
• このメカニズムは$ p \geq 5 $においても頑健であり、$ a_0 $方程式に$ |a_1|^{2m-2}|a_0|^2 a_0 $という位相増幅を可能にする項が含まれるが、立方の場合には存在しない。
• この結果は、$ s<0 $における$ H^s $でのill-posednessが、単に$ H^s $内での連続性の失敗を超えて、より弱い位相への解写像における深刻な不安定性を示している。