[論文レビュー] Instanton counting in Class $\mathcal{S}_k$

Thomas Bourton, Elli Pomoni|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 78被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Dp/D(p-4) D-brane 系を軌道化することで、クラス Sk に属する 4次元 N=1 超共形場理論の瞬間子分配関数を計算し、T² 軌道空間を巻く K 個の D1-brane 上での 2次元超共形指数を計算する。5次元および 4次元極限を導出し、k=1 の場合に既知の Nekrasov 分配関数を確認するとともに、クラス Sk に属する SU(N) クイバー理論が、Coulomb モジュライおよび質量に軌道条件を課すことにより、母体の SU(kN) 理論から導かれることが示された。

ABSTRACT

We compute the instanton partition functions of $\mathcal{N}=1$ SCFTs in class $\mathcal{S}_k$. We obtain this result via orbifolding Dp/D(p-4) brane systems and calculating the partition function of the supersymmetric gauge theory on the worldvolume of $K$ D(p-4) branes. Starting with D5/D1 setups probing a $\mathbb{Z}_\ell imes \mathbb{Z}_k$ orbifold singularity we obtain the $K$ instanton partition functions of 6d $(1,0)$ theories on $\mathbb{R}^4 imes T^2$ in the presence of orbifold defects on $T^2$ via computing the 2d superconformal index of the worldvolume theory on $K$ D1 branes wrapping the $T^2$. We then reduce our results to the 5d and to the 4d instanton partition functions. For $k=1$ we check that we reproduce the known elliptic, trigonometric and rational Nekrasov partition functions. Finally, we show that the instanton partition functions of $SU(N)$ quivers in class $\mathcal{S}_k$ can be obtained from the class $\mathcal{S}$ mother theory partition functions with $SU(kN)$ gauge factors via imposing the `orbifold condition' $a_{\mathcal{A}} ightarrow a_A e^{2πi j/k}$ with $\mathcal{A}=jA$ and $A=1,\dots, N$, $j=1,\dots, k$ on the Coulomb moduli and the mass parameters.

研究の動機と目的

• クラス Sk に属する 4次元 N=1 超共形場理論の瞬間子分配関数を計算すること。
• D1-brane が軌道化された T² を巻く際の超共形指数を計算することで、クラス Sk 理論における 2次元/4次元双対性を確立すること。
• 6次元のアップリフトから 5次元および 4次元の瞬間子分配関数の極限を導出すること。
• 軌道射影を用いて、AGTk 双対性とクラス Sk およびクラス S 母体理論の関係を検証すること。
• クラス Sk に属する SU(N) クイバー理論が、モジュライおよび質量に軌道条件を課すことにより、SU(kN) ゲージ理論からどのように導かれるかを示すこと。

提案手法

• タイプ IIB ストリング理論における D3-brane 系の Zℓ×Zk 軌道化により、クラス Sk 理論を構成する。
• T双対性を用いて、D3-brane 系を軌道化された T² 上の D5-brane 系に写像し、6次元 (1,0) 理論を実現する。この理論の瞬間子分配関数は、2次元超共形指数により計算される。
• K 個の D1-brane が T² を巻く世界面理論の 2次元超共形指数を、軌道化された単一文字のインデックスとプレチスティック指数化を用いて計算する。
• 6次元インデックスに 5次元および 4次元極限を適用する。q→1 および β₅→0 の極限をとることで、5次元および 4次元の瞬間子分配関数が得られる。
• Coulomb モジュライおよび質量に aA → aA e^{2πij/k} を課すことで、軌道条件を導出し、母体の SU(kN) 理論からクラス Sk に属する SU(N) クイバー理論への写像を実現する。
• 5次元および 4次元の分配関数を、 contour 積分表現で表現し、付録 B.1–B.4 で双曲正弦関数および有理関数を用いた明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 N=1 クラス Sk SCFT の瞬間子分配関数は、ストリング理論的構成からどのように計算できるか？
• RQ2 D1-brane が巻く軌道化された T² 上の 2次元超共形指数は、クラス Sk 理論の 6次元アップリフトを計算する上で果たす役割は何か？
• RQ3 6次元の瞬間子分配関数の 5次元および 4次元極限は、N=2* および N=2 クイバー理論の既知の結果をどのように再現するか？
• RQ4 SU(kN) 母体理論からクラス Sk に属する SU(N) クイバー理論に写像する正確な軌道条件は何か？
• RQ5 直接的な瞬間子分配関数の計算によって、提案された AGTk 双対性を検証できるか？

主な発見

• クラス Sk の 6次元瞬間子分配関数は、Zℓ×Zk 軌道空間上を巻く K 個の D1-brane における 2次元超共形指数により計算される。
• k=1 の場合、4次元極限は既知の有理的、三角関数的、楕円的 Nekrasov 分配関数を再現し、既存の結果と整合性が確認された。
• 軌道化された分配関数の 5次元極限は、既知の 5次元 N=2* 分配関数と一致し、5次元アップリフト手順の妥当性が裏付けられた。
• クラス Sk に属する SU(N) クイバー理論の 4次元瞬間子分配関数は、Coulomb モジュライおよび質量に aA → aA e^{2πij/k} を課す軌道条件を適用することにより、母体の SU(kN) 理論から導出される。
• 5次元および 4次元の分配関数の contour 積分表現が明示的に導出され、付録 B.1–B.4 で双曲正弦関数および有理関数を用いた完全な表現が与えられた。
• この計算により、クラス Sk における 2次元/4次元双対性が確立され、軌道化された超共形指数を用いて、4次元/2次元双対性が N=1 理論に一般化された。