[論文レビュー] Instanton counting on blowup. II. $K$-theoretic partition function

Hiraku Nakajima, Kōta Yoshioka|ArXiv.org|May 25, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、5次元 $υ$-deformed $υ$-超対称ヤン・ミルズ理論における $K$-理論的インスタントン分配関数について、吹き出し方程式の体系を確立し、$\varepsilon_1 = \u03b5_2 = 0$ における正則性を証明するとともに、ランク 2 の場合の genus 1 項の明示的表現を導出する。等置的 $K$-理論および $\mathbb{P}^2$ の吹き出しにおけるモジュライ空間の幾何的解析を用いて、分配関数とそのプレポテンシャル極限を一意に決定する関数方程式を導出する。

ABSTRACT

We study Nekrasov's deformed partition function of 5-dimensional supersymmetric Yang-Mills theory compactified on a circle. Mathematically it is the generating function of the characters of the coordinate rings of the moduli spaces of instantons on $\mathbb R^4$. We show that it satisfies a system of functional equations, called blowup equations, whose solution is unique. As applications, we prove (a) logarithm of the partition function times $ε_1ε_2$ is regular at $ε_1 = ε_2 = 0$, (a part of Nekrasov's conjecture), and (b) the genus 1 parts, which are first several Taylor coefficients of the logarithm of the partition function, are written explicitly in terms of the Seiberg-Witten curves in rank 2 case.

研究の動機と目的

• Nekrasovの予想、すなわち $K$-理論的プレポテンシャル $F^{\text{inst}}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ が $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ で正則であることの証明。
• 吹き出し方程式を用いて、ランク 2 の場合のプレポテンシャルの genus 1 項の明示的表現の導出。
• $K$-理論的インスタントン分配関数を一意に決定する関数方程式（吹き出し方程式）の確立。
• $K$-理論的分配関数について、[13] の等置的コホロロジーからの手法を等置的 $K$-理論へ一般化すること。

提案手法

• $\widehat{\mathbb{P}}^2$ 上のインスタントンモジュライ空間の構造層のコホモロジー群の特性の生成関数として、$K$-理論的インスタントン分配関数を定義する。
• Atiyah-Bott-Lefschetz 公式を用いて、吹き出しにおける相関関数を分配関数 $Z^{\text{inst}}$ で表現する。
• 吹き出しモジュライ空間上の特定のコホモロジー群の消滅を証明し、それにより関数方程式を導出する。
• $Z^{\text{inst}}$ の $\mathfrak{q}^n$ の係数を再帰的に決定する吹き出し方程式の体系を導出する。
• $\boldsymbol{\beta} \to 0$ の極限をとることで、ホモロジー的バージョンを復元し、プレポテンシャルの接触項方程式を導出する。
• 多対数関数の恒等式および漸近展開を用いて、$\boldsymbol{\beta} \to 0$ の極限を解析し、genus 1 項を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K$-理論的インスタントン分配関数は、Nekrasov が予想したように $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ でも正則であるか？
• RQ2 吹き出し方程式を用いて、ランク 2 の場合のプレポテンシャルの genus 1 項を明示的に計算できるか？
• RQ3 吹き出し方程式は、$K$-理論的分配関数およびそのプレポテンシャルを一意に決定するか？
• RQ4 $\boldsymbol{\beta} \to 0$ の極限において、$K$-理論的分配関数は Seiberg-Witten プレポテンシャルとどのように関係するか？

主な発見

• $K$-理論的プレポテンシャル $F^{\text{inst}}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ は $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ で正則であり、Nekrasov の予想の一部が確認された。
• ランク 2 の場合のプレポテンシャルの genus 1 項は、$\tau = d^2 F^{\text{inst}}_0(0,0,\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})/da^2$ を用いて明示的に表現される。
• 吹き出し方程式は、$K$-理論的分配関数 $Z^{\text{inst}}$ の $\mathfrak{q}^n$ の係数を一意に決定する。
• 吹き出し方程式から導出された接触項方程式により、プレポテンシャルのインスタントン寄与項 $F^{\text{inst}}_0(\vec{a};\mathfrak{q},\boldsymbol{\beta})$ が再帰的に決定される。
• $\boldsymbol{\beta} \to 0$ の極限において、$K$-理論的プレポテンシャルはホモロジー的ものに収束し、genus 1 項は既知の結果と一致する。
• 多対数関数 $\operatorname{Li}_k(e^{-\boldsymbol{\beta}x})$ の $\boldsymbol{\beta} \to 0$ における漸近的挙動は $\beta^{k+1} \operatorname{Li}_{-k}(e^{-\boldsymbol{\beta}x}) \to k! x^{-k-1}$ を満たし、これにより古典的極限が回復可能となる。