[論文レビュー] Instanton moduli spaces on non-K\\"ahlerian surfaces. Holomorphic models around the reduction loci

Andrei Teleman|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、p_g=0 かつ b_1=1 を満たす非ケーラー多様体上の PU(2)-インスタントンのモジュライ空間の正則構造を、トーラス型還元局所に焦点を当てて研究する。ブロー・アップ・フラップ構成を用いて、正則還元トーラスの周囲におけるモジュライ空間のブロー・アップの境界近傍が、モデル「フラップ通過」空間の境界近傍と正則同値であることを示し、特異点近傍におけるモジュライ空間の正則局所モデルを提供する。

ABSTRACT

Let $\\mathcal{M}$ be a moduli space of polystable rank 2-bundles bundles with fixed determinant (a moduli space of $\\mathrm{PU}(2)$-instantons) on a Gauduchon surface with $p_g=0$ and $b_1=1$. We study the holomorphic structure of $\\mathcal{M}$ around a circle $\\mathcal{T}$ of regular reductions. Our model space is a "blowup flip passage", which is a manifold with boundary whose boundary is a projective fibration, and whose interior comes with a natural complex structure. We prove that a neighborhood of the boundary of the blowup $\\hat{\\mathcal{M}}_{\\mathcal{T}}$ of $\\mathcal{M}$ at $\\mathcal{T}$ can be smoothly identified with a neighborhood of the boundary of a "flip passage" $\\hat Q$, the identification being holomorphic on $\\mathrm{int}(\\hat Q)$.

研究の動機と目的

• p_g=0 かつ b_1=1 を満たす非ケーラー的表面における PU(2)-インスタントンのモジュライ空間の局所正則構造を理解すること。
• モジュライ空間内に存在する正則還元トーラスの近傍における正則モデルを構成すること。
• モジュライ空間のブロー・アップの境界近傍とモデル「フラップ通過」空間の境界近傍との間の正則同型を確立すること。
• 特異点の幾何的解消を提供することにより、ドナルドソン理論の非ケーラー的設定への適用可能性を拡張すること。

提案手法

• 正則還元トーラス $\mathcal{T}$ におけるモジュライ空間 $\mathcal{M}$ のブロー・アップ $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ を構成する。
• 境界を持つ多様体であり、内部に自然な複素構造を持つ「ブロー・アップ・フラップ通過」とも呼ばれるモデル空間 $\hat{Q}$ を定義する。
• ブロー・アップ $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ の境界近傍と $\hat{Q}$ の境界近傍との間の滑らかな微分同相写像を証明する。
• この微分同相写像が $\hat{Q}$ の内部で正則的であることを示し、これにより正則局所モデルを確立する。
• Gauduchon多様体上での小林・ヒッチン対応を用いて、ヘルミート・アインシュタイン接続とランク 2 バンドル上の正則構造を関連付ける。
• ヘルミート・アインシュタイン接続のモジュライ空間と正則バンドルのモジュライ空間との同型を活用し、幾何的構造を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ケーラー的表面における正則還元トーラス近傍のインスタントンモジュライ空間の正則局所モデルをどのように構成できるか？
• RQ2 このような還元局所におけるモジュライ空間のブロー・アップの境界近傍の正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 『フラップ通過』構成が、非ケーラー幾何における可約インスタントンから生じる特異点の正則モデルとして機能できるか？
• RQ4 ブロー・アップ・フラップ構成は、還元局所近傍で複素構造をどの程度保存するか？
• RQ5 Gauduchon多様体上での小林・ヒッチン対応は、インスタントンモジュライ空間の正則モデルの構成をどの程度促進するか？

主な発見

• 正則還元トーラス $\mathcal{T}$ におけるモジュライ空間のブロー・アップ $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ の境界近傍は、モデル「フラップ通過」空間 $\hat{Q}$ の境界近傍と滑らかに微分同相である。
• $\hat{\mathcal{M}}_{\mathcal{T}}$ と $\hat{Q}$ の間の微分同相写像は $\hat{Q}$ の内部で正則的であり、還元局所近傍におけるモジュライ空間の正則局所モデルを提供する。
• ブロー・アップの境界 $\mathcal{P}_{\lambda} = p_{\lambda}^{-1}(\mathcal{T}_{\lambda})$ は、ある $k$ に対して $\mathbb{CP}^{k-1}$ に同型なファイバーを持つ、トーラス $\mathcal{T}_{\lambda}$ 上の射影ファイブレーションである。
• ブロー・アップ構成は還元局所におけるモジュライ空間の特異点を解消するとともに、内部に複素構造を保存する。
• p_g=0、b_1=1 を満たす Gauduchon 多様体上の $\mathrm{PU}(2)$-インスタントンのモジュライ空間は、ブロー・アップ・フラップ構成を用いて還元トーラス近傍で正則モデルを有する。
• 本研究の結果は、還元局所の幾何的解消を提供するものであり、ドナルドソン理論の非ケーラー的表面への適用可能性を拡張する。