[論文レビュー] Instanton representation of Plebanski gravity: IX. Hamiltonian minisuperspace dynamics in undensitized momentum space variables

Eyo Eyo Ita|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、アンデュネタイズド運動量空間変数を用いて、プレバニスキ重力のインスタントン表現におけるハミルトニアンミニサブスパイスダイナミクスを調査し、退化および非退化の両セクターで新しい正確解を導出する。時間発展演算の下で退化および非退化のセクターが保存されることを示し、イソトロピック初期条件の周りにおける展開を通じて一般解を構成するための固定点反復アルゴリズムを導入し、量子補正なしに古典的にビッグバン特異点を回避できることを示す。

ABSTRACT

In this paper we illustrate the dynamics of the instanton representation in the description of vacuum GR in minisuperspace for undensitized variables. We uncover a new class of general solutions in both the degenerate and the nondegenerate sectors of the theory. Additionally, the individual sectors are preserved under Hamiltonian evolution. Finally, we present an algorithm for constructing general solutions by expansion about the isotropic sector.

研究の動機と目的

• アンデュネタイズド運動量変数を用いて、ミニサブスパイスにおけるプレバニスキ重力のインスタントン表現の古典的ダイナミクスを調査すること。
• 理論の退化および非退化の両セクターにおいて、新しい正確解を特定および分類すること。
• ハミルトニアン発展演算の下で、退化および非退化のセクターが不変のままであることを示すこと。
• イソトロピックセクターの周りにおける漸近的展開を通じて、一般解を体系的に構成するためのアルゴリズムを開発すること。
• この形式において、ビッグバン特異点が量子補正なしに古典的に出現するか、回避可能であるかを示すこと。

提案手法

• 空間的に一様な配置のため、空間勾配をゼロに削減することで、ミニサブスパイスにおけるインスタントン表現のハミルトニアン作用を定式化する。
• アンデュネタイズド変数を用いて、CDJ行列 $\Psi_{ae}$ 及びその共役速度 $\dot{X}^{ae}$ のハミルトンの運動方程式を導出する。
• 制約（ハミルトニアン、微分同相、ガウスの法則）をミニサブスパイスに還元し、$\psi_d$ に対して線形的であることが示され、したがって余分であることを示す。
• イソトロピック解の周りにおける漸近的展開を生成するため、$\varphi_n(t)$ を用いた固定点反復スキームを導入する。ここで $\varphi_0$ は初期値である。
• 非退化および退化の両ケースにこの手法を適用し、積分および三角関数の逆関数を用いて得られた方程式を解く。
• CDJアンザッツの下で $\Psi^{-1}_{ae} = (\sigma^{-1})^a_i B^i_e$ の恒等式を用い、非退化極限においてアシュテカール変数を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンデュネタイズド運動量変数を用いて、プレバニスキ重力のインスタントン表現における新しい古典的解を導出可能か？
• RQ2 理論の退化および非退化セクターは、ハミルトニアン発展演算の下で保存されるか？
• RQ3 イソトロピックセクターの周りにおける展開を通じて、一般解を体系的に構成可能か？
• RQ4 この古典的形式において、ビッグバン特異点は出現するか、それとも回避可能か？
• RQ5 CDJ行列 $\Psi_{ae}$ はミニサブスパイスダイナミクスにおける基本的運動量変数としてどのような役割を果たすか？

主な発見

• この論文は、インスタントン表現の退化および非退化の両セクターにおいて、時間発展演算の下でもセクター構造を保存する新しい一般解のクラスを発見する。
• 非退化セクターにおけるハミルトニアンダイナミクスは、$\varphi(t)$ の逆三角関数を含む解に至り、$\varphi(t)$ は $\sqrt{\varphi(t;\epsilon)} = \Bigl{(}\sqrt{\varphi_0} + \frac{3}{\Lambda\sqrt{\varphi_0}}\Bigr{)}\Bigl{[}1 - \sqrt{\frac{\Lambda\varphi_0}{3}}\tan\bigl{(}\frac{\sqrt{3\Lambda}}{2}\int_0^t E(\varphi,\epsilon)dt'\bigr{)}\Bigr{]}^{-1} - \frac{3}{\Lambda\sqrt{\varphi_0}}$ によって進化する。
• 退化セクターでは、8つの任意の複素定数 $\epsilon_{ae}$ でラベル付けされた解が許容され、初期値 $\varphi_0$ が宇宙が退化のままであるか、非退化に遷移するかを決定する。
• 固定点反復スキーム $\varphi_{n+1}(t) = \sqrt{\frac{3}{\Lambda}}\tan\Bigl{[}\tan^{-1}\bigl{(}\sqrt{\frac{\Lambda\varphi_0}{3}}\bigr{)} + \frac{\sqrt{3\Lambda}}{2}\int_0^t E(\varphi_n(t'),\epsilon)dt'\Bigr{]}$ は、適切な条件下で一般解に収束する。
• この形式において、ビッグバン特異点は古典的に回避可能であり、量子補正に依存せず、任意に小さい時刻においても運動方程式が正しく定義されたままである。
• 配置空間変数 $X^{ae}$ はグローバルに統合可能ではないが、その速度結合 $\dot{X}^{ae}$ は依然として一貫した時間発展演算および解の構成を可能にする。