[論文レビュー] Instanton sheaves on complex projective spaces

Marcos Jardim|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、複素射影空間上におけるインスタントン層を導入し、数学的インスタントンバンドルを任意のランクのねじれのない層へ一般化する。この層が線形モノイドのコホモロジーとして生じることを確立し、低ランクのインスタントン層について半安定性を証明し、モジュライ空間を特徴づける。例えば、ℙ²上のランク1インスタントン層は、0次元スキームの理想層であり、ℙ²上のランク2および3のインスタントン層のモジュライ空間は、半安定なねじれのない層のモジュライ空間と同型であることを示している。

ABSTRACT

We study a class of torsion-free sheaves on complex projective spaces which generalize the much studied mathematical instanton bundles. Instanton sheaves can be obtained as cohomologies of linear monads and are shown to be semistable if its rank is not too large, while semistable torsion-free sheaves satisfying certain cohomological conditions are instanton. We also study a few examples of moduli spaces of instanton sheaves.

研究の動機と目的

• 複素射影空間上での任意のランクのねじれのない層への数学的インスタントンバンドルの一般化。
• インスタントン層が線形モノイドのコホモロジーとして生じることの確立。
• 半安定なねじれのない層がインスタントン層であるための条件の特定。
• インスタントン層のモジュライ空間の構造と幾何の分析。
• 既知のインスタントンバンドルに関する結果を、局所自由でない場合や偶数次元の場合を含めたより一般的な層へ拡張すること。

提案手法

• コホモロジー的消滅条件および1番目のチエーン類の消滅を用いて、ℙⁿ上でのインスタントン層を定義する。
• 0 → V⊗𝒪(−1) → W⊗𝒪 → U⊗𝒪(1) → 0 の形の線形モノイドを用い、コホモロジーとしてインスタントン層を構成する。
• モノイドのコホモロジーのねじれのなさ、反射的、局所自由の基準を適用する。
• ムムフォード＝タケモト安定性およびコホモロジー的制約を用いて、インスタントン層の半安定性を証明する。
• 特にℙ²上の低ランクの場合に、半安定層のモジュライ空間との同型を用いてモジュライ空間を特徴づける。
• ノルコリレーション層を重要な例として用い、これらがチャージ1、ランクn−1のインスタントン層であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙⁿ上の半安定なねじれのない層がインスタントン層であるのはいつか？
• RQ2 ℙⁿ上でのランクrのインスタントン層が存在するための条件は何か？
• RQ3 インスタントン層のモジュライ空間と半安定層のモジュライ空間の関係は何か？
• RQ4 すべてのランクn−1のℙⁿ上でのインスタントン層は単純か？
• RQ5 ℙ²上でのランク1インスタントン層のモジュライ空間の構造は何か？

主な発見

• ℙⁿ上でのランクr ≤ 2n−1の局所自由インスタントン層はすべて半安定である。
• ℙⁿ上でのランクr ≤ nの反射的インスタントン層はすべて半安定である。
• ℙ²上でのランク1インスタントン層は、長さcの0次元部分スキームの理想層にちょうど一致するので、ℐℙ²(1,c) ≅ (ℙ²)[c] である。
• r = 2,3の場合、モジュライ空間ℐℙ²(r,c)は、c₁ = 0およびc₂ = cを満たす半安定ねじれのない層のモジュライ空間と同型である。
• ℙⁿ上でのノルコリレーション層は、ちょうどランクn−1、チャージ1のインスタントン層であり、ℐℙⁿ(n−1,1) ≅ ℙ^{n(n+1)/2 − 1} である。
• ℙⁿ上でのすべてのランクn−1インスタントン層は単純であり、数学的インスタントンバンドルに関する既知の結果を一般化する。