[論文レビュー] Instantons and affine algebras I: The Hilbert scheme and vertex operators

I. Grojnowski|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、代数的曲線が表面に与える対応関係を通じて、インスタントンモジュライ空間のコホモロジー上でのアフィンリー代数作用の幾何的実現を確立する。表現の中心的荷重がゲージ群のランクに等しいことを示し、U(1)-インスタントンの場合にはFrenkel-Kacの基本的表現が得られ、第二チーサー類の二次形式が次数作用素の固有値に一致する。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers which describe the action of an affine Lie algebra with central charge $n$ on the moduli space of $U(n)$-instantons on a four manifold $X$. This generalises work of Nakajima, who considered the case when $X$ is an ALE space. In particular, this describes the combinatorial complexity of the moduli space as being precisely that of representation theory, and thus will lead to a description of the Betti numbers of moduli space as dimensions of weight spaces. This Lie algebra acts on the space of conformal blocks (iė\., the cohomology of a determinant line bundle on the moduli space) generalising the ``insertion'' and ``deletion'' operations of conformal field theory, and indeed on any cohomology theory. In the particular case of $U(1)$-instantons, which is essentially the subject of this present paper, the construction produces the basic representation after Frenkel-Kac. Then the well known quadratic nature of $ch_2$, $$ch_2 = \frac{1}{2} c_1\cdot c_1 - c_2 $$ becomes precisely the formula for the eigenvalue of the degree operator, iė\. the well known quadratic behaviour of affine Lie algebras.

研究の動機と目的

• アレル・スペースにおける中島の研究を、任意の代数的表面へ一般化し、U(n)-インスタントンモジュライ空間上でのアフィンリー代数作用を構成すること。
• モジュライ空間の組合せ的複雑性が、アフィンリー代数の表現理論に起因することを説明すること。
• 表現の中心的荷重が、ゲージ群U(n)のランクnに等しいことを示すこと。
• 決定的ラインバンドのコホモロジー（自己対称ブロック）がアフィンリー代数の作用を持つことを確立し、共形場理論の操作を一般化すること。
• U(1)-インスタントンの場合に、構成がFrenkel-Kacの基本的表現をもたらし、第二チーサー類の二次形式が次数作用素の固有値に対応することを示すこと。

提案手法

• 代数的曲線Σ ⊂ X を用いて、U(n)-インスタントンモジュライ空間上に対応関係を構成し、コホモロジー理論への写像を誘導する。
• これらの対応関係が、有限ルート系としてのH²(X, ℤ)を用いて定義されるアフィンリー代数の交換関係を満たすことを示す。
• 曲線に沿った基本的変形を用いて、特にU(1)の場合にアフィンヘイゼンベルク代数を生成する作用素を定義する。
• 得られる表現の中心的荷重が、正確にゲージ群U(n)のランクnに一致することを示す。
• モジュライ空間上の決定的ラインバンドのコホモロジーを自己対称ブロックの空間と特定し、アフィンリー代数作用を有することを示す。
• 特にU(1)の場合にヒルベルトスキームの幾何を活用し、頂点作用素を用いてアフィンカク＝ムーディ代数の基本的表現を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的表面X上のU(n)-インスタントンモジュライ空間上でのアフィンリー代数作用を、どのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 代数的曲線が、コホモロジー上でのリー代数作用を誘導する対応関係を生成する役割を果たすのはなぜか？
• RQ3 なぜ表現の中心的荷重が、ゲージ群U(n)のランクnに等しいのか？
• RQ4 第二チーサー類の二次形式は、表現における次数作用素の固有値とどのように関係するか？
• RQ5 U(1)の場合のFrenkel-Kacの基本的表現の幾何的起源は何か？

主な発見

• 表面X上のU(n)-インスタントンモジュライ空間には、中心的荷重nの自然なアフィンリー代数作用が存在する。
• 代数的曲線に関連する対応関係は、コホモロジーラティスH²(X, ℤ)を用いて定義されるアフィンリー代数を生成する。
• U(1)-インスタントンの場合、構成によりアフィンカク＝ムーディ代数のFrenkel-Kacの基本的表現が得られる。
• 第二チーサー類はch₂ = ½c₁·c₁ − c₂を満たし、これはアフィンリー代数表現における次数作用素の固有値の公式に正確に一致する。
• モジュライ空間上の決定的ラインバンドのコホモロジーは、自己対称ブロックの空間を実現し、アフィンリー代数作用を有する。
• 表現の中心的荷重は、ゲージ群のランクnとして特定され、S双対性の予測と整合的であることが確認された。