[論文レビュー] Instantons and Annular Khovanov Homology

Yi Xie|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、厚みのある円環内のリンクに対して、輪状インスタントンフローコホモロジーを導入し、輪状ケーブル・コホモロジーからこのインスタントンコホモロジーへのスペクトル系列を構成する。主な結果は、成分がノルムホモロジックである場合、このスペクトル系列が円環内のアンリンクを検出できることであり、また、トゥーリング・ケーブル・コホモロジーがブレイドと他のトゥーリングを区別できることの新しい証明を提供することである。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the annular instanton Floer homology which is defined for links in a thickened annulus. It is an analogue of the annular Khovanov homology. A spectral sequence whose second page is the annular Khovanov homology and which converges to the annular instanton Floer homology is constructed. As an application of this spectral sequence, we prove that the annular Khovanov homology detects the unlink in the thickened annulus (assuming all the components are null-homologous). Another application is a new proof of Grigsby and Ni's result that tangle Khovanov homology distinguishes braids from other tangles.

研究の動機と目的

• 厚みのある円環内のリンクに対して、新しい不変量である輪状インスタントンフローコホモロジーを定義すること。
• 輪状ケーブル・コホモロジーから輪状インスタントンフローコホモロジーへのスペクトル系列を確立し、三重に重み付けされた構造を保存すること。
• このスペクトル系列を用いて、成分がノルムホモロジックである場合に、輪状ケーブル・コホモロジーが円環内のアンリンクを検出できることを証明すること。
• スペクトル系列と既知のインスタントンコホモロジーに関する結果を用いて、トゥーリング・ケーブル・コホモロジーがブレイドを検出できることの新しい証明を提供すること。

提案手法

• 特異インスタントンフローコホモロジーの枠組みにおいて、輪状ケーブル・コホモロジーの類似物として、輪状インスタントンフローコホモロジーを定義する。
• E2ページが鏡像リンクの輪状ケーブル・コホモロジーであり、極限が輪状インスタントンフローコホモロジーに収束するスペクトル系列を構成する。
• スペクトル系列が、三重に重み付けされた構造（特にこの文脈で導入された新しい重み付け）を保存することを証明する。
• スペクトル系列を用いて、次数和成分分解を通じて、トゥーリング・ケーブル・コホモロジーとトゥーリング・インスタントンフローコホモロジーを関連付ける。
• KronheimerとMrowkaのサチュレートド多様体のためのインスタントンフローコホモロジーを適用し、許容可能な表面条件の下で、輪状インスタントンコホモロジーの非自明性を証明する。
• 切除と、異なるコボルディズムのインスタントンコホモロジー群の間の同型を用いて、特にキーノットのケーブルに対して、トゥーリングとノットの不変量を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 輪状ケーブル・コホモロジーから、輪状設定下での新しいインスタントンフローコホモロジー不変量へのスペクトル系列を構成できるか？
• RQ2 すべての成分がノルムホモロジックである場合、輪状ケーブル・コホモロジーは、厚みのある円環内のアンリンクを検出できるか？
• RQ3 このスペクトル系列を用いて、トゥーリング・ケーブル・コホモロジーがブレイドを検出できることを再証明できるか？
• RQ4 S^3内のノットについて、縮小されたカラーリング済みケーブル・コホモロジーから、縮小された特異インスタントンフローコホモロジーへのスペクトル系列の一般化は可能か？

主な発見

• リンクの鏡像の輪状ケーブル・コホモロジーからその輪状インスタントンフローコホモロジーへのスペクトル系列が存在し、E2ページが輪状ケーブル・コホモロジーであり、極限が輪状インスタントンフローコホモロジーに収束する。
• このスペクトル系列は、輪状ケーブル・コホモロジーの三重に重み付けされた構造（特にこの文脈で導入された新しい重み付け）を保存する。
• すべての成分がノルムホモロジックである場合、輪状ケーブル・コホモロジーは、厚みのある円環内のアンリンクを検出でき、これは輪状インスタントンフローコホモロジーがアンリンクでない限り消えることから生じる。
• スペクトル系列は、トゥーリング・ケーブル・コホモロジーからトゥーリング・インスタントンフローコホモロジーへの対応するスペクトル系列を誘導し、これによりブレイド検出結果の新しい証明が可能になる。
• 閉じたトゥーリングに対して、トゥーリング・ケーブル・コホモロジーは、輪状ケーブル・コホモロジーの次数i成分と同型であり、同様にインスタントンコホモロジーに対しても同様の関係が成り立つ。
• 縮小されたnカラーリング済みケーブル・コホモロジーから、縮小された特異インスタントンフローコホモロジーへのスペクトル系列が確立され、これにより従来の結果がカラーリングの場合に一般化される。