[論文レビュー] Instantons and branes in manifolds with vector cross product

Jae-Hyouk Lee, Naichung Conan Leung|ArXiv.org|Feb 3, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ベクトル交叉積（VCP）を有する多様体におけるインスタントンおよびブレインの包括的枠組みを構築し、複素構造付きVCPを有するKähler多様体としてCalabi-Yau多様体とハイパーケーラー多様体が唯一存在することを示す。Calabi-Yau多様体の等方的 Knot空間が自然な正則シンプレクティック構造を備えていることを証明し、VCP形式のトランスグレッションを通じてCalabi-Yau幾何学と正則シンプレクティック幾何学を結びつける。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of manifolds with vector cross product and its complexification. First we develop the theory of instantons and branes and study their deformations. For example they are (i) holomorphic curves and Lagrangian submanifolds in symplectic manifolds and (ii) associative submanifolds and coassociative submanifolds in G_2-manifolds. Second we classify Kahler manifolds with the complex analog of vector cross product, namely they are Calabi-Yau manifolds and hyperkahler manifolds. Furthermore we study instantons, Neumann branes and Dirichlet branes on these manifolds. For example they are special Lagrangian submanifolds with phase angle zero, complex hypersurfaces and special Lagrangian submanifolds with phase angle pi/2 in Calabi-Yau manifolds. Third we prove that, given any Calabi-Yau manifold, its isotropic knot space admits a natural holomorphic symplectic structure. We also relate the Calabi-Yau geometry of the manifold to the holomorphic symplectic geometry of its isotropic knot space.

研究の動機と目的

• 複素幾何学へのベクトル交叉積の一般化を図り、複素ベクトル交叉積を有するKähler多様体を分類すること。
• VCP構造を用いて、特殊ラグランジュ部分多様体、アソシエイティブ部分多様体、正則曲線などのカリフォルメート部分多様体の幾何学を統一する枠組みを構築すること。
• 微分形式のトランスグレッションを通じて、Calabi-Yau多様体の幾何学とその等方的 Knot空間の正則シンプレクティック幾何学との間の対応を確立すること。
• Seiberg-Witten不変量などの物理的・トポロジカル不変量が、G2-およびCalabi-Yau多様体におけるブレインを囲むインスタントンの数え上げとどのように関係するかを明らかにすること。
• 等方的 Knot空間が、正則シンプレクティック幾何学におけるツイスター回転を通じて、ミラー対称性の双対幾何的モデルとしての可能性を検討すること。

提案手法

• 実VCPの一般化として、複素構造を用いて接バンドル上に正則微分形式を定義する複素ベクトル交叉積（C-VCP）を導入する。
• VCPテンソルが接空間上で消える部分多様体としてインスタントンを特徴づけ、これがカリフォルメートかつ最小であることを保証する。
• 法バンドルが次数rのVCP形式の空間に同型である部分多様体としてブレインを定義し、変形が閉形式によってパラメトライズされることを示す。
• 固定された$ r-1 $次元多様体$ \Sigma $に対して、Knot空間$ \mathcal{K}_\Sigma M = \mathrm{Map}(\Sigma, M)_{\text{emb}} / \mathrm{Diff}(\Sigma) $を構成し、VCP形式$ \phi $のトランスグレッションによってこの空間上に閉じた2形式が得られることを示す。
• Calabi-Yau多様体$ M $の場合、等方的Knot空間$ \widehat{\mathcal{K}}_\Sigma M $上のトランスグレッションされた2形式が非退化で、$ L^2 $計量と整合的であり、正則シンプレクティック構造を与えることを証明する。
• 局所化および変形理論を用いて、Knot空間内のラグランジュ部分多様体が、位相$ -\pi/2 $の特殊ラグランジュ部分多様体に対応することを示し、$ J $-正則または$ K $-複素ラグランジュ構造から複素ラグランジュが生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのKähler多様体が複素ベクトル交叉積を有し、それらの幾何的分類は何か？
• RQ2 VCPを有する多様体におけるインスタントンおよびブレインは、既知のカリフォルメート部分多様体（例：特殊ラグランジュ、アソシエイティブ）をどのように一般化するか？
• RQ3 Calabi-Yau多様体の等方的Knot空間に自然な正則シンプレクティック構造を導入できるか？また、元のCalabi-Yau幾何学とどのように関係するか？
• RQ4 トランスグレッションされたVCP形式がKnot空間上のシンプレクティック構造をどのように誘導するか？また、これはChern-Simons理論やM理論などの物理理論とどのように関係するか？
• RQ5 Strominger-Yau-Zaslowのミラー対称性予想は、等方的Knot空間の正則シンプレクティック構造におけるツイスター回転として解釈可能か？

主な発見

• 複素ベクトル交叉積を有する唯一のKähler多様体はCalabi-Yau多様体とハイパーケーラー多様体である。
• Calabi-Yau多様体$ M $の等方的Knot空間$ \widehat{\mathcal{K}}_\Sigma M $は、VCP形式のトランスグレッションによって誘導される自然な正則シンプレクティック構造を有する。
• 位相$ \theta = 0 $の特殊ラグランジュ部分多様体は、Knot空間構成の下で$ \widehat{\mathcal{K}}_\Sigma M $内の複素ラグランジュ部分多様体に対応する。
• 複素VCP設定におけるNeumannブレイン（Nブレイン）はCalabi-Yau多様体内の複素超曲面として特定され、Dirichletブレイン（Dブレイン）は位相$ -\pi/2 $の特殊ラグランジュ部分多様体として特定される。
• ブレインの変形理論は非障害的であり、無限小変形はブレイン上での閉じたVCP形式によってパラメトライズされ、ブレインのモジュライ空間は滑らかである。
• 本構成により、$ M $内のカリフォルメート部分多様体とKnot空間内の正則またはラグランジュ部分多様体との間の対応が幾何学的に実現され、Calabi-Yau幾何学と正則シンプレクティック幾何学との間に双対性があることが示唆される。