[論文レビュー] Instantons beyond topological theory II

Edward Frenkel, A. Losev+1 more|ArXiv.org|Mar 23, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、従来の自由場またはトポロジカルな極限の代わりに「無限大半径極限」を用いることで、インスタントンを有する量子場理論を研究するための新規フレームワークを提案する。非トポロジカル（非BPS）な観測量—特にジェット評価観測量—の相関関数が、正則化されたホロモルフィック写像の有限次元モジュライ空間上の積分として計算可能であることが示され、ハミルトニアンにジョルダン標準形を有する対数的 conformal field theory 構造と、演算子の対数的混合が明らかになる。

ABSTRACT

The present paper is the second part of our project in which we describe quantum field theories with instantons in a novel way by using the "infinite radius limit" (rather than the limit of free field theory) as the starting point. The theory dramatically simplifies in this limit, because the correlation functions of all, not only topological (or BPS), observables may be computed explicitly in terms of integrals over finite-dimensional moduli spaces of instanton configurations. In Part I (arXiv:hep-th/0610149) we discussed in detail the one-dimensional (that is, quantum mechanical) models of this type. Here we analyze the supersymmetric two-dimensional sigma models and four-dimensional Yang--Mills theory, using the one-dimensional models as a prototype. We go beyond the topological (or BPS) sectors of these models and consider them as full-fledged quantum field theories. We study in detail the space of states and find that the Hamiltonian is not diagonalizable, but has Jordan blocks. This leads to the appearance of logarithms in the correlation functions. We find that our theories are in fact logarithmic conformal field theories (theories of this type are of interest in condensed matter physics). We define jet-evaluation observables and consider in detail their correlation functions. They are given by integrals over the moduli spaces of holomorphic maps, which generalize the Gromov--Witten invariants. These integrals generally diverge and require regularization, leading to an intricate logarithmic mixing of the operators of the sigma model. A similar structure arises in the four-dimensional Yang--Mills theory as well.

研究の動機と目的

• インスタントンを有する量子場理論に対して、標準的なトポロジカルまたは自由場近似を超えた非トポロジカルで幾何的な枠組みを構築すること。
• 超対称シグマ模型およびヤン・ミルズ理論の完全な量子的構造—非BPS状態および観測量を含めて—を理解すること。
• 相関関数および演算子の混合に現れる対数的構造の起源を特定し、対数的 conformal field theory (LCFT) と関連付けること。
• ジェット評価観測量を導入することで、Gromov–Witten 不変量を一般化し、境界発散性により正則化が必要となる相関関数を扱うこと。
• ADHM 建造および等長的積分を用いて、これらの結果を4次元超対称ヤン・ミルズ理論に拡張すること。

提案手法

• インスタントンを有する量子場理論の解析の出発点として、弱い結合定数またはトポロジカル極限の代わりに無限大半径極限を用いる。
• ジェット評価観測量を、標的多様体のジェット空間上の微分形式として定義し、通常の評価作用素を導関数を含む形に一般化する。
• 2次元ではホロモルフィック写像のモジュライ空間、4次元では自己双対接続のモジュライ空間上の積分として相関関数を計算し、インスタントンに対して ADHM 建造を用いる。
• モジュライ空間の境界除集合に起因する発散を処理する正則化技術を適用し、相関関数に対数的項が現れるようにする。
• ハミルトニアン構造を解析し、対角化不可能でジョルダン標準形を有することを示し、これにより状態および演算子の対数的混合が生じることを明らかにする。
• 等長的積分およびホロモルフィック作用素を用いてインスタントン補正を計算し、対数的項を含む演算子積展開（OPE）を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インスタントンを有する量子場理論において、非トポロジカル観測量の相関関数はどのように計算可能か？
• RQ2 無限大半径極限は、トポロジカル領域を超えてシグマ模型およびヤン・ミルズ理論の力学をどのように簡略化するか？
• RQ3 ジェット評価観測量の相関関数に現れる対数的項の物理的および数学的起源は何か？なぜ対数的混合が生じるのか？
• RQ4 理論のハミルトニアン構造は、状態空間における非対角化およびジョルダン標準形をどのように導くか？
• RQ5 対数的 conformal field theory の構造は、シグマ模型やヤン・ミルズ理論のような幾何的量子場理論において明示的に実現可能か？

主な発見

• 無限大半径極限により、トポロジカルおよび非トポロジカルなすべての観測量の相関関数が、インスタントンのモジュライ空間上の有限次元積分として計算可能になるという顕著な簡略化が生じる。
• 理論のハミルトニアンは対角化不可能であり、ジョルダン標準形を有しており、これが相関関数に直接的に対数的項を生じさせることを示している。
• 理論は特に $\mathbb{P}^1$ およびトーラスを標的とする場合、中心電荷 $c = 0$ の対数的 conformal field theory (LCFT) として同定される。
• ホロモルフィック写像の値およびその導関数に依存するジェット評価観測量は、ホロモルフィック写像のモジュライ空間上の正則化積分として相関関数を生成し、Gromov–Witten 不変量を一般化する。
• これらの積分の正則化は一意的ではなく、演算子の対数的混合を引き起こし、Part I で研究された量子力学的モデルと類似する。
• 4次元 $\mathcal{N}=4$ ヤン・ミルズ理論においても、1インスタントン領域では同様の対数的構造が現れ、ADHM モジュライ空間上の積分から導かれる対数的項を含むOPEが得られる。