[論文レビュー] Instantons, Integrability and Discrete Light-Cone Quantisation

Nick Dorey, Andrew Singleton|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\ mathbb{R}^2 \times T^2$ 上のヤンミルズインスタントンのモジュライ空間上の超対称量子力学的モデルを、$\ mathcal{N}=4$ SUSYヤンミルズ理論の離散的光円錐量論化（DLCQ）の実現として提案する。このモデルのハミルトニアンが光円錐スケーリング演算子と等スペクトル的であることを確立し、スケーリング極限において半古典的可積分性を示し、$\ mathcal{N}=4$ SYMにおける隠れた対称性と可積分性を幾何的フレームワークで探る手がかりを提供する。

ABSTRACT

We study supersymmetric quantum mechanics on the moduli space of Yang-Mills instantons on R^2 x T^2 and its application to the discrete light-cone quantisation (DLCQ) of N=4 SUSY Yang-Mills. In the presence of a target space magnetic field, the model has a discrete spectrum with the wavefunctions of generic energy eigenstates supported away from the singular points of the moduli space. The corresponding Hamiltonian is part of an osp(1,1|4) superalgebra which enlarges to su(1,1|4) superconformal invariance in the sector corresponding to the N=4 theory. The Hamiltonian is isospectral to the light-cone dilatation operator of the N=4 theory in this sector. The model also has an interesting scaling limit where it becomes integrable. We determine the semiclassical spectrum in this limit. We discuss a possible approach to constructing the dilatation operator of N=4 supersymmetric Yang-Mills theory in DLCQ.

研究の動機と目的

• インスタントンモジュライ空間上の超対称量子力学を用いて、$\ mathcal{N}=4$ SUSYヤンミルズ理論の DLCQ の幾何的実現を提供すること。
• 特に、スケーリング極限においてモデルが半古典的に可積分的になる枠組みにおいて、可積分性の出現を調査すること。
• 関連する領域における、量子力学的モデルのハミルトニアンと $\ mathcal{N}=4$ SYM の光円錐スケーリング演算子との間の対応関係を確立すること。
• 標的空間の磁場がモジュライ空間の正則化と特異点から離れた離散スペクトルの実現に果たす役割を調査すること。
• DLCQ におけるスケーリング演算子の構成に向け、モデルにおける保存量と対称性を分析することで、出発点を築くこと。

提案手法

• 弱い結合定数極限における半フラット計量を用いて、$\ mathbb{R}^2 \times T^2$ 上の $SU(N)$ gauge 理論の $K$ 個のインスタントンのモジュライ空間 $\ mathcal{M}$ を標的空間とする超対称 $\sigma$-モデルを定式化する。
• $(2,0)$ 理論のカーラーツァ・クライン還元により標的空間の磁場を導入し、モジュライ空間を変形し特異点を正則化する。
• コンpact方向の運動量に対応する保存量 $Q_{eI}$ と $Q_m^I$ を特定し、$\ mathbf{osp}(1,1|4)$ 超代数において閉じた代数を形成する。
• モデルが半古典的に可積分的になる $\ rho \to \infty$ スケーリング極限を分析し、ハミルトニアンがラクスペア構造を有することを示す。
• ハミルトニアンが、非ゼロの電気的および磁気的荷電を持つ領域において、$\ mathcal{N}=4$ SYM の光円錐スケーリング演算子と等スペクトル的であることを証明する。
• モジュライ空間のハイパーカイラー構造と特別なケーラー幾何を用いて、電気的および磁気的サイクル間のシンプレクティックペアリングを定義し、保存量の基盤をなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インスタントンモジュライ空間上の超対称量子力学を用いて、$\ mathcal{N}=4$ SYM の DLCQ を一貫して定式化できるか？
• RQ2 標的空間の磁場の導入が、スペクトルおよびモジュライ空間の正則化にどのように影響するか？
• RQ3 スケーリング極限において、モデルが可積分性を示すか？ もし示すならば、保存量および対称性の性質は何か？
• RQ4 量子力学的モデルのハミルトニアンと $\ mathcal{N}=4$ SYM の光円錐スケーリング演算子との正確な関係は何か？
• RQ5 この枠組みを $K \to \infty$ 極限に拡張し、Minkowski空間理論を回復する形で、全スケーリング演算子を構成できるか？

主な発見

• インスタントンモジュライ空間上の量子力学的モデルのハミルトニアンは、非ゼロの電気的および磁気的荷電を持つ領域において、$\ mathcal{N}=4$ SYM の光円錐スケーリング演算子と等スペクトル的である。
• モデルは、コンパクト方向の運動量に対応する $2r$ 個の保存量 $\{Q_{eI}, Q_m^I\}$ を有し、$\ mathbf{osp}(1,1|4)$ 超代数を形成する閉じた代数をなす。
• $\rho \to \infty$ スケーリング極限において、系は半古典的に可積分的となり、ハミルトニアンはラクスペアを有し、可換な保存量が存在する。
• カーラーツァ・クライン還元によって誘導される標的空間の磁場は、モジュライ空間を正則化し、特異点から離れた局在化した波動関数を伴う離散スペクトルを保証する。
• 弱い結合定数極限において、モジュライ空間上の半フラット計量は平坦計量に還元され、$KN$ 個の自由粒子が $N-1$ 個の制約（種別ごと）を伴って回復される。
• モデルの構造は、DLCQ におけるスケーリング演算子の構成への道筋を示唆しており、$N/\mathrm{Im}\,\tau$ を固定する 't Hooft 極限における平面極限への拡張の可能性を秘めている。