[論文レビュー] Instruction sequences and non-uniform complexity theory

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 37被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、プログラム代数における単一パス命令列に基づく非一様計算複雑性理論を構築し、P/poly および NP/poly の類似物を導入し、非一様な超多項式複雑性仮説を提示する。3SAT の変種が NP/poly-完全であることを示し、この設定において複雑性クラスが古典的定義と整合することを示し、直感的で命令列に基づく還元性を持つ、非一様計算を研究するための新しい代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We develop theory concerning non-uniform complexity in a setting in which the notion of single-pass instruction sequence considered in program algebra is the central notion. We define counterparts of the complexity classes P/poly and NP/poly and formulate a counterpart of the complexity theoretic conjecture that NP is not included in P/poly. In addition, we define a notion of completeness for the counterpart of NP/poly using a non-uniform reducibility relation and formulate complexity hypotheses which concern restrictions on the instruction sequences used for computation. We think that the theory developed opens up an additional way of investigating issues concerning non-uniform complexity.

研究の動機と目的

• 単一パス命令列——プログラム代数の基礎的概念——を根拠とする非一様計算複雑性理論を構築すること。
• この命令列フレームワーク内において、古典的複雑性クラス P/poly および NP/poly の類似物を定義すること。
• 非一様な超多項式複雑性仮説を、直接的証拠よりもその結果に動機づけられた中心的仮説として提示すること。
• NP/poly の類似物における完全性を定義するための非一様還元性関係を導入し、計算の難易度の分析を可能にすること。

提案手法

• プログラム代数における単一パス命令列——各命令が最大1回しか実行されない有限または無限の命令列——の概念を、基本的な計算モデルとして使用する。
• 命令列が実行環境とスレッドのような挙動を通じて相互作用する計算モデルを定義し、基本的スレッド代数（BTA）を用いてモデル化する。
• NP/poly の類似物における完全性を定義するため、命令列変換に基づく非一様還元性関係を導入する。
• 3つの超多項式的特徴消去複雑性仮説を提示し、計算の限界を分析するために命令列を制限する。
• このフレームワークにおける複雑性クラス P/poly および NP/poly が、それらの古典的定義と一致することを確立する。
• BTAにおける明示的置換を用いることで、スレッド抽出における組合せ的爆発を回避し、命令列の線形サイズ表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一パス命令列を計算の原初的素因として用いることで、P/poly や NP/poly のような非一様複雑性クラスを意味的に再定義できるか？
• RQ2 命令列モデル内に、NP/poly の完全性の概念を支える自然な非一様還元性関係が存在するか？
• RQ3 3SAT の変種が、この命令列フレームワーク内でも NP-完全かつ NP/poly-完全のままであるか？
• RQ4 非一様な超多項式複雑性仮説を提示し、それが古典的対応物よりも強い結果を示すことを示せるか？
• RQ5 このモデルにおける複雑性クラス P/poly および NP/poly が、それらの古典的定義と等価であるか？

主な発見

• 命令列フレームワークで定義された複雑性クラス NP/poly は、古典的 NP/poly と等価であり、モデルの表現力が正当化される。
• 3SAT に密接に関連する問題が、NP-完全かつ NP/poly-完全であることが示され、このモデルにおける標準的な難問が確立される。
• 非一様な超多項式複雑性仮説が中心的仮説として提示され、3つの関連仮説のうち最初のものがある仮説と同値であることが示される。
• この理論は、このフレームワークにおける P/poly および NP/poly が古典的定義と一致することを示し、既存の複雑性理論と整合性を保つ。
• BTAにおける明示的置換により、命令列からスレッドを線形サイズで抽出でき、表現における組合せ的爆発が回避される。