[論文レビュー] Intégration symplectique des variétés de Poisson régulières

F. Alcalde-Cuesta, G. Hector|ArXiv.org|Jul 20, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正則なポアソン多様体のグローバルなシンプレクティック統合のための十分な位相的条件を確立し、与えられたポアソン構造を実現する具体的なシンプレクティック群体の構成を提供する。可積分性の障害を同定し、提案された基準の下で群体のハウスドルフ性が必要かつ十分であることを証明し、無限次元設定へのリーの第三の定理の一般化を達成する。

ABSTRACT

A symplectic integration of a Poisson manifold $(M,Λ)$ is a symplectic groupoid $(Γ,η)$ which realizes the given Poisson manifold, i.e. such that the space of units $Γ_0$ with the induced Poisson structure $Λ_0$ is isomorphic to $(M,Λ)$. This notion was introduced by A. Weinstein in order to quantize Poisson manifolds by quantizing their symplectic integration. Any Poisson manifold can be integrated by a local symplectic groupoid but already for regular Poisson manifolds there are obstructions to global integrability. The aim of this paper is to summarize all the known obstructions and present a sufficient topological condition for integrability of regular Poisson manifolds; we will indeed describe a concrete procedure for this integration. Further our criterion will provide necessary and sufficient if we require $Γ$ to be Hausdorff, which is a suitable condition to proceed to Weinstein's program of quantization. These integrability results may be interpreted as an generalization of the Cartan-Smith proof of Lie's third theorem in the infinite dimensional case.

研究の動機と目的

• グローバルなシンプレクティック統合のための既知の障害を特定し要約すること。
• 正則なポアソン多様体がシンプレクティック群体にグローバルに統合可能であるための十分な位相的条件を確立すること。
• 正則なポアソン多様体を統合するシンプレクティック群体を具体的かつ明示的に構成する手順を提供すること。
• ハウスドルフ性が可積分性の必要かつ十分な基準を保証する役割を明確にすること。
• シンプレクティック群体統合を用いて、ポアソン幾何学の無限次元設定におけるリーの第三の定理の枠組みを拡張すること。

提案手法

• ポアソン多様体のグローバル実現としてシンプレクティック群体の概念を用い、単位の空間が元のポアソン構造を引き継ぐこと。
• 正則なポアソン多様体の葉ごとの幾何学を分析し、横断的構造とホロノミー不変量に注目する。
• 局所的群体構成を超える、グローバル可積分性の障害となるコhomologicalおよび位相的障害を同定するための障害理論を適用する。
• 特に、シンプレクティック foliation の葉空間の第二コホモロジー群におけるある特定の特徴類の自明性という位相的条件を導入し、可積分性を保証する。
• パスの空間と同値関係を用いてシンプレクティック群体を明示的に構成し、ポアソン二階テンソル場と整合性を保つようにする。
• 群体がハウスドルフであることを要請することで、可積分性に対する必要かつ十分な条件が得られることを示し、一般基準を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則なポアソン多様体のグローバルなシンプレクティック統合のための完全な障害の集合は何か？
• RQ2 どのような位相的条件下で正則なポアソン多様体がシンプレクティック群体に統合可能か？
• RQ3 シンプレクティック群体のハウスドルフ性は、正則なポアソン構造の可積分性にどのように影響するか？
• RQ4 トップロジカル基準を満たす任意の正則なポアソン多様体に対して、シンプレクティック群体を構築する構成的手順を開発可能か？
• RQ5 この可積分性の結果は、ポアソン幾何学の無限次元設定において、リーの第三の定理をどの程度一般化するか？

主な発見

• 本稿は、正則なポアソン多様体のグローバルなシンプレクティック統合のための完全な障害を同定し、コホモロジー的およびホロノミー関連不変量を含む。
• 可積分性のための十分な位相的条件が確立された：シンプレクティック foliation の葉空間の第二コホモロジー群におけるある特徴類の消滅。
• シンプレクティック群体がハウスドルフであることを要請すると、その位相的条件は可積分性に対して必要かつ十分となる。
• 著者らは、多様体内のパスの同値類を用いてシンプレクティック群体を明示的に構成し、ポアソン構造と整合する。
• 結果として、カルタン＝スミスによるリーの第三の定理の証明が、シンプレクティック群体統合を用いて無限次元のポアソン多様体の文脈に一般化された。
• この枠組みにより、ヴァインシュタインが予想したように、シンプレクティック群体の量子化を用いた正則なポアソン多様体の体系的量子化が可能になる。