[論文レビュー] Integer complexity: algorithms and computational results

Harry Altman|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の自然数 $n$ に対して安定化長 $K(n)$ および安定複雑性 $‘n’_{st}$ を計算可能に定めるアルゴリズムを提示し、整数複雑性理論における重要な未解決問題を解決する。デフォルト関数 $ \delta(n) = \|n\| - 3\log_3 n$ と低デフォルト多項式を活用することで、$K(n)$ の効率的計算が可能となり、$k \leq 48$ の範囲で $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ が成り立つことを確認し、長年の予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Define $\|n\|$ to be the complexity of $n$, the smallest number of ones needed to write $n$ using an arbitrary combination of addition and multiplication. Define $n$ to be stable if for all $k\ge 0$, we have $\|3^k n\|=\|n\|+3k$. In [7], this author and Zelinsky showed that for any $n$, there exists some $K=K(n)$ such that $3^K n$ is stable; however, the proof there provided no upper bound on $K(n)$ or any way of computing it. In this paper, we describe an algorithm for computing $K(n)$, and thereby also show that the set of stable numbers is a computable set. The algorithm is based on considering the defect of a number, defined by $δ(n):=\|n\|-3\log_3 n$, building on the methods presented in [3]. As a side benefit, this algorithm also happens to allow fast evaluation of the complexities of powers of $2$; we use it to verify that $\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$ for $k\le48$ and arbitrary $\ell$ (excluding the case $k=\ell=0$), providing more evidence for the conjecture that $\|2^k 3^\ell\|=2k+3\ell$ whenever $k$ and $\ell$ are not both zero. An implementation of these algorithms in Haskell is available.

研究の動機と目的

• 安定化長 $K(n)$ の計算をアルゴリズム的に可能にすること。これは、従来は存在は知られていたが計算不能であった。
• 安定複雑性 $\|n\|_{st}$ と安定数の集合が計算可能であることを確立し、整数複雑性のアルゴリズム的解析を可能にする。
• デフォルト理論と低デフォルト多項式を用いて $\|n\|$ および $\|n\|_{st}$ を計算する実用的なアルゴリズムを提供し、従来の手法を拡張すること。
• $k \leq 48$ および任意の $\ell$ に対して、予想 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ を検証し、その妥当性に対する計算的証拠を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、$n$ が 3 を繰り返し乗算する際の複雑性挙動を分析するために、デフォルト関数 $\delta(n) = \|n\| - 3\log_3 n$ を用いる。
• 低デフォルト多項式と低デフォルト木表現を用いて、$3^k n$ のうちデフォルトが最小となるものを効率的に探索し、$K(n)$ の計算を可能にする。
• 数 $n$ の $3$-表現における指数和 $k_1 + \cdots + k_r$ の上限を、$f(3^{k_1}, \ldots, 3^{k_r})$ を通じて導出し、探索空間を削減する。
• 部分式における複雑性分布を追跡するための木構造データ構造を用い、重複する低デフォルトペアの効率的除去を可能にする。
• デフォルトの境界を満たすかを確認するため、$\delta(f, C)(k_1, \ldots, k_r) < i\alpha$ をチェックすることで、従来の切り捨てヒューリスティクスを置き換える。
• Haskell で最適化された実装により、$k \leq 48$ の範囲で $\|2^k\|$ を計算し、$2^k 3^\ell$ 予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化長 $K(n)$ は、存在は知られていたが計算不能であったという前提のもと、アルゴリズム的に計算可能か？
• RQ2 安定複雑性 $\|n\|_{st}$ は計算可能か？ また、$n$ の真の複雑性を推定するのに使用可能か？
• RQ3 予想 $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ は、$k \leq 48$ および任意の $\ell$ に対して成り立つか？
• RQ4 デフォルト理論と低デフォルト多項式を用いて、$\|n\|$ および $\|n\|_{st}$ の計算のための実用的アルゴリズムを設計可能か？

主な発見

• $n$ の安定化長 $K(n)$ は計算可能であり、任意の $n$ に対してその値を計算するアルゴリズムが提示された。
• 安定複雑性 $\|n\|_{st}$ は計算可能であり、安定数の集合も計算可能集合である。
• アルゴリズムにより、$k \leq 48$ および任意の $\ell$ に対して $\|2^k 3^\ell\| = 2k + 3\ell$ が成り立つことが検証された（$k = \ell = 0$ を除く）。
• Haskell での実装により、$k \leq 48$ の範囲で $\|2^k\|$ が正しく計算され、この範囲で $\|2^k\| = 2k - 1$ が成立することが確認された。
• 指数和の上限を制限し、デフォルトのチェックを実施することで、$3$-表現の探索空間が顕著に削減された。
• 本手法により、$2^k 3^\ell$ 形式の数の $\|n\|$ の高速評価が可能となり、その複雑性に関するより広範な予想を支持する。