[論文レビュー] Integer symmetric matrices of small spectral radius and small Mahler measure

James McKee, Chris Smyth|ArXiv.org|Jul 2, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての最小非巡回的整数対称行列を分類し、それらに対する強いレーマー問題を完全に解く。Mahler測度は、巡回的の場合（1）か、それ以外ではレーマー定数 λ₀ ≈ 1.17628 以上である。さらに、スペクトル半径 < 2.019 かつMahler測度 < 1.3 である整数対称行列をすべて特定し、±1 の成分を持つ帯電符号付きグラフへのグラフ理論の拡張を用いる。

ABSTRACT

In a previous paper we completely described cyclotomic matrices--integer symmetric matrices of spectral radius at most 2. In this paper we find all minimal noncyclotomic matrices. As a consequence, we are able to determine all integer symmetric matrices of spectral radius at most 2.019, and to determine all integer symmetric matrices whose Mahler measure is at most 1.3. In particular we solve the strong version of Lehmer's problem for integer symmetric matrices: all noncyclotomic matrices have Mahler measure at least "Lehmer's number" 1.17628... .

研究の動機と目的

• 巡回的行列に関する先行研究を拡張し、すべての最小非巡回的整数対称行列を分類すること。
• 整数対称行列に対する強いレーマー問題を解き、1より大きいMahler測度の下限を同定すること。
• スペクトル半径が 2.019 未満で、Mahler測度が 1.3 未塔の整数対称行列をすべて特定すること。
• ±1 の非対角成分および対角成分をもつ符号付きグラフにグラフ理論的手法を拡張し、スペクトルおよびMahler測度の性質を分析すること。
• 非巡回的整数対称行列の最小Mahler測度が正確にレーマー数 λ₀ に達することを確立し、この境界が鋭いかどうかを示すこと。

提案手法

• 隣接行列の成分が {−1, 0, 1} にあり、対角成分が ±1 である符号付きおよび帯電符号付きグラフの理論を、巡回的および非巡回的行列に拡張する。
• 特徴多項式とMahler測度を関連付けるために、関連する逆多項式 R_A(z) = z^d * P(z + 1/z) を用いる。
• 交互定理およびスペクトルの境界を適用し、非巡回的行列がスペクトル半径 ≥ √λ₀ + 1/√λ₀ ≈ 2.00659 をもつ必要があることを示す。
• 最小の非巡回的帯電符号付きグラフから非最小のものを生成する成長手続きを用い、コンピュータによる検証でMahler測度を確認する。
• Cvetković, Doob, Gutman らの既知のグラフおよび符号付きグラフに関する結果を用い、対角成分の帯電および負の辺符号を含む形に拡張する。
• 絶対値が2以上の成分をもつ行列は容易に除外できることを活用し、±1 成分に限定して議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回的整数対称行列のMahler測度の下限は何か？
• RQ2 どの整数対称行列がスペクトル半径 2.019 未塔か？
• RQ3 どの整数対称行列がMahler測度 1.3 未塔か？
• RQ4 最小非巡回的整数対称行列とは何か？ そしてそれらはどのように分類できるか？
• RQ5 符号付きおよび帯電符号付きグラフを用いたグラフ論的アプローチにより、整数対称行列に対する強いレーマー問題を解くことができるか？

主な発見

• 最小非巡回的整数対称行列は、4つの無限族と125個の孤立例から構成され、本稿で完全にリストアップされている。
• 任意の非巡回的整数対称行列のMahler測度は、少なくともレーマー定数 λ₀ ≈ 1.17628 以上であり、この境界は鋭い。
• Mahler測度が λ₀ に達する最小の2つの行列は、5u および 5N という帯電符号付きグラフの隣接行列である。
• スペクトル半径が 2.019 未塔であるすべての整数対称行列は、巡回的であるか、10個の特定の値（10f に対応する 2.00659 を含む）のいずれかのスペクトル半径を持つ。
• Mahler測度が 1.3 未塔であるすべての整数対称行列は、巡回的であるか、125個の最小非巡回的行列またはその非最小拡張に同値であり、すべての非最小例は成長手続きによって特定された。
• Mahler測度 < 1.3 で11頂点を超える連結帯電符号付きグラフは、既知のリスト以外に存在せず、すべてのこのようなグラフは少なくとも1つの帯電頂点を含む。