[論文レビュー] Integers expressible as the sum of two rational cubes

Levent Alpöge, Manjul Bhargava+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有理数の立方の和として表せる整数のうち正の割合が存在すること、またその逆も同様に正の割合が存在することを証明しており、表せる整数の下付密度は少なくとも 2/21、表せない整数の下付密度は少なくとも 1/6 であることを示している。著者らは、3次捩れ族の楕円曲線における2-セレマー群の平均サイズが3であることを示すことによりこの結果を得ており、二進形式の一般化パラメトライゼーションと、円法や数体幾何学を用いた高度な解析的整数論的手法を用いている。

ABSTRACT

We prove that a positive proportion of integers are expressible as the sum of two rational cubes, and a positive proportion are not so expressible, thus proving a conjecture of Davenport. More generally, we prove that a positive proportion (in fact, at least one sixth) of elliptic curves in any cubic twist family have rank 0, and a positive proportion (in fact, at least one sixth) of elliptic curves with good reduction at 2 in any cubic twist family have rank 1. Our method involves proving that the average size of the 2-Selmer group of elliptic curves in any cubic twist family, having any given root number, is 3. We accomplish this by generalizing a parametrization, due to the second author and Ho, of elliptic curves with extra structure by pairs of binary cubic forms. We then use a novel combination of geometry-of-numbers methods and the circle method that builds on earlier work of Ruth and the first author. In particular, we make use of a new interpretation of the singular integral and series arising in the circle method in terms of real and $p$-adic Haar measures on the relevant group. We prove a uniformity estimate for integral points on the relevant quadric, which along with a sieve allows us to prove that the average size of the 2-Selmer group over the cubic twist family is 3. By suitably partitioning the subset of curves in the family with given root number, we effect a further sieve to show that the root number is equidistributed and that the same average, now taken over only those curves of given root number, is again 3. Finally, we apply the $p$-parity theorem of Dokchitser-Dokchitser and a $p$-converse theorem of Burungale-Skinner to conclude. We also prove the analogue of the above results for the sequence of square numbers: namely, we prove that a positive proportion of square integers are expressible as the sum of two rational cubes, and a positive proportion are not.

研究の動機と目的

• 有理数の立方の和として表せる整数の集合が正の自然密度を持つかどうかを特定すること。
• この密度が0と1の間であるかどうかという長年の未解決問題を解明すること。
• このような整数およびその補集合の密度に関する定量的下界を確立すること。
• Q 上の3次捩れ族における楕円曲線のランク（0および1）の分布を分析すること。
• このような族における2-セレマー群の平均サイズが正確に3であることを証明し、p-正規性定理およびp-逆定理を用いてランク分布に関する結論を導くこと。

提案手法

• BhargavaとHoの研究を拡張し、余剰構造を持つ楕円曲線のパラメトライゼーションを、二進形式の対による一般化によって行う。
• 整数の軌道を、合同条件を課し、不変量で有界な二進形式の対の空間における二次超曲面の上に数える。
• 数体幾何学的手法と円法を用いて、SL₂(Z) × SL₂(Z) の基本領域におけるこのような軌道の数を推定する。
• 円法における特異積分および特異級数を、SL₂ × SL₂ 上のHaar測度に関する実およびp進積分として再解釈する。
• 一様性推定とスieve法を用いて、全3次捩れ族における2-セレマー群の平均サイズが3であることを示す。
• 根数ごとに族を分割し、さらなるスieve法を用いて根数の等分布性を示し、固定された根数クラス内でも2-セレマー群の平均サイズが3のまま保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数の立方の和として書ける整数の自然密度は何か？
• RQ2 このような和として表せる整数および表せない整数の両方について、正の下界が存在するか？
• RQ3 3次捩れ族における楕円曲線の2-セレマー群の平均サイズは何か？
• RQ4 2で良い還元を持つ楕円曲線の3次捩れにおいて、ランク（0および1）はどのように分布しているか？
• RQ5 p-正規性定理およびp-逆定理を用いて、セレマー群の統計からランク分布を導くことは可能か？

主な発見

• 有理数の立方の和として表せる整数のうち、正の割合が存在し、その下付密度は少なくとも 2/21 である。
• 有理数の立方の和として表せない整数のうち、正の割合が存在し、その下付密度は少なくとも 1/6 である。
• 任意の3次捩れ族における楕円曲線の2-セレマー群の平均サイズは正確に3である。
• 任意の3次捩れ族において、少なくとも 1/6 の楕円曲線がランク0であり、2で良い還元を持つものの中で少なくとも 1/6 がランク1である。
• 根数は3次捩れ族全体で等分布しており、固定された根数クラスに制限しても2-セレマー群の平均サイズは3のまま保たれる。
• 本研究の結果は、円法の特異級数および特異積分をSL₂ × SL₂ 上のHaar測度として再解釈する新規な手法と、p-正規性定理およびp-逆定理の組み合わせによって得られている。