[論文レビュー] Integrability and reduction of Poisson group actions

Luca Stefanini|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、作用に適したシンプレクティック二重群体を構成し、モーメント準同型のミカミ＝ウエインスタイン型還元を実行することで、自由かつ固有のポアソン群作用の下での商ポアソン多様体の可積分性を確立する。主な結果は、完全なポアソン群が可積分なポアソン多様体上で自由かつ固有に作用するならば、その商も可積分であり、明示的なシンプレクティック群体が二重リー群体構造からの還元によって構成されることである。

ABSTRACT

In this paper we study Poisson actions of complete Poisson groups, without any connectivity assumption or requiring the existence of a momentum map. For any complete Poisson group $G$ with dual $G^\star$ we obtain a suitably connected integrating symplectic double groupoid $\calS$. As a consequence, the cotangent lift of a Poisson action on an integrable Poisson manifold $P$ can be integrated to a Poisson action of the symplectic groupoid $\poidd{\calS}{G^\star}$ on the symplectic groupoid for $P$. Finally, we show that the quotient Poisson manifold $P/G$ is also integrable, giving an explicit construction of a symplectic groupoid for it, by a reduction procedure on an associated morphism of double Lie groupoids.

研究の動機と目的

• 自由かつ固有のポアソン群作用の下での可積分なポアソン多様体の商が、再び可積分であるかどうかという未解決の問題を解決すること。
• 連結性の仮定を一切設けずに、任意の完全なポアソン群に対してシンプレクティック二重群体を構成することにより、ポアソン群の可積分性理論を拡張すること。
• シューアの還元手続きを一般化し、ポアソン群作用をシンプレクティック二重群体に上昇させ、二重リー群体のモーメント準同型に対して還元を実行すること。
• 運動量写像が存在しない場合でも有効な関手的で幾何的な方法により、商ポアソン構造のシンプレクティック群体を構成すること。

提案手法

• 完全なポアソン群 G を、G とその双対 G* の双対性に基づいて、シンプレクティック二重群体 S に統合する。これはルーアとヴェインシュタインの結果を単連結でない群へ一般化する。
• 可積分なポアソン多様体 P 上のポアソン G-作用の余接上昇を、P のシンプレクティック群体上のポアソン群体 S-作用に上昇させる。
• Λ を P のシンプレクティック群体とするとき、上昇作用を用いて、Λ と G* 間のモーメント準同型 J: Λ → G* を構成する。
• J の核上でのミカミ＝ウエインスタイン還元を実行し、J⁻¹(e*) 上の G-作用を用いて、P/G のシンプレクティック群体を生成する。
• 還元空間 J⁻¹(e*)/G が滑らかであり、Λ 上の元の形式に引き戻される一意なシンプレクティック形式を持つことを示す。
• カッタネオ＝フェルナンドとクレインイク＝フェルナンドの Lie 代数的ホモトピーと可積分性条件の上昇を用いて、滑らかさと可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由かつ固有のポアソン群作用の下での可積分なポアソン多様体の商が、どのような条件下で再び可積分になるか。
• RQ2 可積分なポアソン多様体上のポアソン群作用の余接上昇が、基底多様体のシンプレクティック群体上へのポアソン作用に統合可能か。
• RQ3 運動量写像が不要な一般還元手続きが、商ポアソン構造のシンプレクティック群体を構成可能か。
• RQ4 群の 0- もしくは 1-連結性を仮定しないで、完全なポアソン群の可積分性を確立可能か。
• RQ5 二重リー群体のモーメント準同型は、シューアとフェルナンド＝オルテガ＝ラティウの古典的還元手続きとどのように関係するか。

主な発見

• 任意の完全なポアソン群 G は、単連結性を仮定しない一般化により、シンプレクティック二重群体 S に統合可能であり、ルーアとヴェインシュタインの結果を拡張する。
• 可積分なポアソン多様体 P 上のポアソン G-作用の余接上昇は、P のシンプレクティック群体 Λ 上のポアソン群体 S-作用に統合可能である。
• 商ポアソン多様体 P/G は可積分であり、モーメント準同型 J: Λ → G* の還元によって与えられるシンプレクティック群体構造を持つ。
• 還元空間 J⁻¹(e*)/G は滑らかであり、一意なシンプレクティック形式 ω̲ を持ち、pr*ω̲ = ι*ω を満たす。このため、P/G のシンプレクティック群体として適切である。
• 本構成はシューアの還元を一般化・強化し、商が常に滑らかであることを示しており、フェルナンド＝オルテガ＝ラティウの統合結果をポアソン群作用の文脈へ拡張する。
• 適切な作用二重リー群体を用いることで、完全なポアソン群の作用に伴う LA-群体の可積分性が確立される。