[論文レビュー] Integrability Conditions For Almost Hermitian And Almost Kaehler 4-Manifolds

Klaus-Dieter Kirchberg|ArXiv.org|May 23, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ほぼヘルミートおよびほぼカーラー 4 次元多様体がカーラーであることを強制する曲率条件を確立する。|W₊|² = S²/6 かつ δW₊ = 0 または ∇|W₊| = |∇W₊| を満たすならば、ほぼ複素構造は可積分である。主な結果は、|W₊|² = S²/6 かつ δW₊ = 0 を満たすコンパクトなほぼカーラー 4 次元多様体はカーラーである、という事実であり、非負のスカラー曲率におけるゴールドバーグ予想に対する部分的解決を与える。

ABSTRACT

If $W_+$ denotes the self dual part of the Weyl tensor of any Kähler 4-manifold and $S$ its scalar curvature, then the relation $|W_+|^2 = S^2/6$ is well-known. For any almost Kähler 4-manifold with $S \ge 0$, this condition forces the Kähler property. A compact almost Kähler 4-manifold is already Kähler if it satisfies the conditions $| W_+ |^2 = S^2/6$ and $δW_+=0$ and also if it is Einstein and $| W_+|$ is constant. Some further results of this type are proved. An almost Hermitian 4-manifold $(M,g,J)$ with $\mathrm{supp} (W_+)=M$ is already Kähler if it satisfies the condition $| W_+ |^2 = 3 (S_{\star} - S/3)^2 /8$ together with $| abla W_+ | = | abla |W_+||$ or with $δW_+ + abla \log | W_+ | \lrcorner W_+ =0$, respectively. The almost complex structure $J$ enters here explicitely via the star scalar curvature $S_{\star}$ only.

研究の動機と目的

• ほぼヘルミート 4 次元多様体における曲率条件を同定し、ほぼ複素構造の可積分性を示す。
• ほぼカーラー 4 次元多様体が曲率的制約のもとで必然的にカーラーであるとされる状況を特定する。
• 自己双対ウェイリ・テンソルとスカラー曲率を用いた可積分性の十分条件を提供する。
• コンパクトなほぼカーラー・アインシュタイン 4 次元多様体で |W₊| が定数である場合、それがカーラーであることを示すことでゴールドバーグ予想に貢献する。
• 既知のカーラー曲率恒等式を、非カーラー設定におけるカーラー性の十分条件へ一般化する。

提案手法

• 自己双対ウェイリ・テンソル W₊ 及びそのノルム |W₊|² がスカラー曲率 S およびスター・スカラー曲率 S⋆ とどのように関係するかを分析する。
• Kähler 4 次元多様体上で成立することが知られる重要な曲率条件 |W₊|² = S²/6 を用いる。
• δW₊ および ∇|W₊| に関連する微分的恒等式を適用し、特に δW₊ + ∇log|W₊|⌟W₊ = 0 を含む。
• コンパクトなほぼヘルミート多様体におけるカーラー性の障害 Q(J) を用いる。
• 共形同値性の議論と、W₊ ≠ 0 である M₊ 上の曲率恒等式を用いる。
• 積分およびボホーナ型恒等式を適用し、曲率的および位相的制約のもとで ∇J = 0 を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 supp(W₊) = M を満たすほぼヘルミート 4 次元多様体が、どのような曲率的条件下で必然的にカーラーであるか？
• RQ2 |W₊|² = S²/6 に加え、δW₊ = 0 または ∇|W₊| = |∇W₊| が成立する場合、J の可積分性が保証されるか？
• RQ3 |W₊|² = S²/6 かつ δW₊ = 0 を満たすコンパクトなほぼカーラー 4 次元多様体は、必然的にカーラーであるか？
• RQ4 |W₊| が定数であるコンパクトなほぼカーラー・アインシュタイン 4 次元多様体に対して、ゴールドバーグ予想は真であるか？
• RQ5 定数負のスカラー曲率 S を持つコンパクトなほぼカーラー 4 次元多様体がカーラーであることを強制する曲率的条件は何か？

主な発見

• supp(W₊) = M かつ |W₊|² = 3(S⋆ − S/3)²/8 を満たすほぼヘルミート 4 次元多様体が |∇W₊| = |∇|W₊|| を満たすならば、カーラーである。
• ほぼヘルミート 4 次元多様体が |W₊|² = 3(S⋆ − S/3)²/8 かつ δW₊ + ∇log|W₊|⌟W₊ = 0 を満たすならば、カーラーである。
• |W₊|² = S²/6 かつ δW₊ = 0 を満たすコンパクトなほぼカーラー 4 次元多様体は、定理 4.2 で示されるようにカーラーである。
• |W₊| が定数である限り、コンパクトなほぼカーラー・アインシュタイン 4 次元多様体は、定理 4.4 で示されるようにカーラーである。
• 定数負のスカラー曲率 S を持つコンパクトなほぼカーラー 4 次元多様体に対して、det(W₊) = S³/108 かつ δW₊ = 0 ならば、カーラー性が成立する。
• det(W₊) = S|W₊|²/18 は、定数スカラー曲率をもつカーラー 4 次元多様体を特徴づけ、アインシュタインまたは調和曲率の仮定のもとで、カーラー性を示唆する。