[論文レビュー] Integrability of Jacobi structures

Marius Crainic, Chenchang Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、接触群コホートを用いてジャコビ構造の可積分性を確立し、ワイナーシンプレクティック群コホート枠組みをジャコビ幾何学へ拡張する。クレイン＝フェルナンデスの$A$-パスおよびモノドロミー群コホート理論を用い、シンプレクティック群コホートに対するコスタン型前量子化定理を証明し、ワイナーとシューが提起した疑問に応える。また、ポアソン可積分性とは異なる可積分性の基準を提示し、両者の非同値性を明確に示す具体的な例を提示する。

ABSTRACT

We discuss the integrability of Jacobi manifolds by contact groupoids, and then look at what the Jacobi point of view brings new into Poisson geometry. In particular, using contact groupoids, we prove a Kostant-type theorem on the prequantization of symplectic groupoids, which answers a question posed by Weinstein and Xu \cite{prequan}. The methods used are those of Crainic-Fernandes on $A$-paths and monodromy group(oid)s of algebroids. In particular, most of the results we obtain are valid also in the non-integrable case.

研究の動機と目的

• ジャコビ多様体のグローバルな幾何的枠組みを接触群コホートを用いて確立し、ポアソン幾何学におけるシンプレクティック群コホート理論を拡張する。
• ワイナーとシューが提起した、シンプレクティック群コホートの前量子化に関する疑問に、コスタン型定理を用いて応える。
• ジャコビ的可積分性とポアソン的可積分性の違いを明確にし、両者の条件が同値でないことを示す。
• クレイン＝フェルナンデスのモノドロミー群コホートおよび$A$-パス技法をジャコビ的状況へ一般化し、非可積分の場合でも有効な結果を得る。

提案手法

• 著者たちは、クレインとフェルナンデスが開発したリー代数準束の$A$-パスおよびモノドロミー群コホート理論を用い、ジャコビ構造の可積分性条件を分析する。
• ジャコビ多様体$(M, \tilde{\rho}, R)$のポアソン化を、$M \times \mathbb{R}$上のポアソン構造$\tilde{\Lambda} = e^{-s}(\Lambda + \frac{\partial}{\partial s} \wedge R)$により定義し、ジャコビ幾何学とポアソン幾何学を結びつける。
• 接触多様体のシンプレクティフィケーションが、$M \times \mathbb{R}$上にシンプレクティック構造を誘導することを示し、シンプレクティック群コホート技法の適用を可能にする。
• リー代数準束$A = T^*M \oplus \mathbb{R}$のモノドロミー群コホート$G(A)$を構成し、可積分性を研究する。モノドロミー写像は周期積分により決定される。
• 主な技術的道具は、シンプレクティック葉$L$に対する周期群$Per(\omega_L)$の同定であり、これはポアソンおよびジャコビ両ケースにおける可積分性を支配する。
• シンプレクティック面積関数$A_a(r) = \int_{S_r} \omega_r = \frac{4\pi r}{a(r)}$を用いたジャコビ可積分性の基準を導出する。可積分性は$\lim_{r \to 0} (A_a'(r) + A_a(r)) \neq 0$であることと同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下でジャコビ多様体は接触群コホートを用いて可積分となるか？
• RQ2 シンプレクティック群コホートの前量子化は、ジャコビ的状況におけるコスタン型定理とどのように関係するか？
• RQ3 ジャコビ的およびポアソン的可積分性の間の正確な関係は何か？
• RQ4 モノドロミー群コホートのアプローチは、非可積分ジャコビ構造へ拡張可能か？
• RQ5 シンプレクティック面積関数$A_a(r)$は、ジャコビ可積分性を決定づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• シンプレクティック群コホートに対するコスタン型前量子化定理が証明され、ワイナーとシューの疑問に応える。
• 2次元のポアソン多様体がジャコビ多様体として可積分であるための必要十分条件は、周期群$Per(\omega_L)$が局所的に一様離散であることである。
• ブラケット$\{x^i,x^j\} = a(r) \epsilon^{ijk} x^k$をもつ3次元のポアソン多様体$M_a$について、ジャコビ多様体としての可積分性は$\lim_{r \to 0} (A_a'(r) + A_a(r)) \neq 0$であることと同値であり、ここで$A_a(r) = \frac{4\pi r}{a(r)}$である。
• ポアソン構造として可積分であるがジャコビ構造として可積分でないポアソン多様体が存在する—例えば$a(r) = r e^r$のとき、$A_a(r)$は定数であるためポアソン可積分であるが、$A_a'(r) + A_a(r) \to 0$（$r \to 0$）であるためジャコビ可積分でない。
• 逆に、ジャコビ可積分であるがポアソン可積分でないポアソン多様体も存在する—例えば$a(r) = 1/(\sin r + 2)$のとき、$A_a(r)$には臨界点がなく、$\lim_{r \to 0} (A_a'(r) + A_a(r)) \neq 0$であるためジャコビ可積分であるが、$A_a(r)$は定数ではなく$A_a'(r) \to 0$であるためポアソン可積分でない。
• 最後に、$a(r) = r e^{\phi(r) r}$で$\phi(r) = 1$（$r$が0に近いとき）かつ$\phi(r) = 0$（$r$が大きいとき）のとき、$A_a'(r) + A_a(r) \to 0$かつ$A_a(r)$は定数ではないため、$M_a$はポアソンでもジャコビでも可積分でない。