[論文レビュー] Integrability of the Manakov--Santini hierarchy

M. V. Pavlov, Jen Hsu Chang+1 more|ArXiv.org|Oct 13, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、無限個の可換な流れを有する結合可積分流体鎖の初例を提示し、その適合条件として4成分3次元のManakov–Santini系を導出する。流体還元法および対称的流体型系の手法を用いて、可積分性を証明し、一般化されたホドグラフ法により無限個の明示的解を構成する。

ABSTRACT

The first example of the so-called "coupled" integrable hydrodynamic chain is presented. Infinitely many commuting flows are derived. Compatibility conditions of the first two of them lead to the remarkable Manakov--Santini system. Integrability of this four component three dimensional quasilinear system of the first order as well as the coupled hydrodynamic chain is proved by the method of hydrodynamic reductions. In comparision with a general case considered by E.V. Ferapontov and K.R. Khusnutdinova, in this degenerate case N component hydrodynamic reductions are parameterized by N+M arbitrary functions of a single variable, where M is a number of branch points of corresponding Riemann surface. These hydrodynamic reductions also are written as symmetric hydrodynamic type systems. New classes of particular solutions are found.

研究の動機と目的

• 2種類のモーメント（q_k, f_k）を有する結合可積分流体鎖の初例を確立すること。
• この鎖の最初の2つの流れの適合条件としてManakov–Santini系を導出すること。
• 流体還元を用いて4成分3次元の準線形系の可積分性を証明すること。
• このベクトル鎖へ対称的流体還元の手法を拡張し、明示的解を構成すること。
• 一般化されたホドグラフ法を用いて、階層に対して無限個の特別解を生成すること。

提案手法

• Manakov–Santini系の分散なしLax表現から流体双鎖(3)を導出する。
• 保存則および可換な流れの生成関数を用いて階層を構成する。
• 流体還元法を適用し、N個の成分還元をN+M個の単一変数関数でパラメータ化する（Mは分岐点の数）。
• 2種類のリーマン不変量を導入し、完全拡張Gibbons–Tsarev系を構成する。
• 一般化された（Tsarevの）ホドグラフ法を適用し、リーマン面上の形式的展開を用いて陰解を得る。
• 対称的流体還元を用いて解を明示的に構成し、階層全体との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Benney鎖と線形的退化鎖を一般化する2種類のモーメントを有する結合可積分流体鎖を構成可能か？
• RQ2 このような鎖の最初の2つの流れの適合条件がManakov–Santini系をもたらすか？
• RQ3 このベクトル鎖に対して流体還元を体系的に構成する方法は何か？ また、それらは任意関数を用いてどのようにパラメータ化されるか？
• RQ4 対称的流体還元をこの結合系へ拡張し、明示的解を得られるか？
• RQ5 一般化されたホドグラフ法を用いてManakov–Santini階層に対して無限個の特別解を生成可能か？

主な発見

• 本稿では、Benneyのスカラー鎖を一般化する無限個の可換な流れを有する結合可積分流体鎖の初例を確立する。
• 鎖の最初の2つの流れの適合条件は、4成分3次元の準線形系として知られるManakov–Santini系をもたらす。
• 系の流体還元は、リーマン不変量の数Nと分岐点の数Mを用いて、N+M個の単変数関数でパラメータ化される。
• 対称的流体還元が明示的に構成され、Manakov–Santini系の無限個の特別解の導出が可能になる。
• 一般化されたホドグラフ法を用いて、N個の分岐点を持つリーマン面上の形式的展開を用いて陰解を効果的に構成する。
• すべての還元が階層全体と整合することを確認し、従来の結果を拡張し、流体還元技術を用いた可積分性の証明がなされた。