[論文レビュー] Integrability of the twistor space for a hypercomplex manifold

D. Kaledin|ArXiv.org|Dec 18, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の超複素多様体のツイスター空間が可積分であることを証明しており、超ケーラー多様体に対する既知の結果を拡張している。四元数構造を接 bundle に作用させることにより、著者はツイスター空間を構成し、曲率解析と正則性の議論を通じて、その複素構造が、自然なほぼ複素構造が満たす可積分性条件によって確立されることを示している。

ABSTRACT

A hypercomplex manifold is by definition a smooth manifold equipped with two anticommuting integrable almost complex structures. For example, every hyperkaehler manifold is canonically hypercomplex (the converse is not true). For every hypercomplex manifold M, the two almost complex structures define a smooth action of the algebra of quaternions on the tangent bundle to M. This allows to associate to every hypercomplex manifold M of dimension 4n a certain almost complex manifold X of dimension 4n+2, called the twistor space of M. When M is hyperkaehler, X is well-known to be integrable. We show that for an arbitrary hypercomplex manifold its twistor space is also integrable.

研究の動機と目的

• 超ケーラー多様体におけるツイスター空間の既知の可積分性を、任意の超複素多様体へ一般化すること。
• 超複素多様体のツイスター空間上に定義された自然なほぼ複素構造が可積分であることを確立すること。
• 接 bundle における四元数作用が誘導する幾何的構造を分析し、それがツイスター空間の定義における役割を明らかにすること。
• ツイスター理論の適用範囲を超ケーラー設定を超えて拡張する基礎的結果を提供すること。

提案手法

• 次元 4n の超複素多様体 M に対して、次元 4n+2 のツイスター空間 X を、ほぼ複素多様体として構成する。
• M の接 bundle における四元数の自然な作用を用いて、X 上のほぼ複素構造の族を定義する。
• 超複素構造と 2-球面上の標準的ラインバンドルを用いて、X 上のほぼ複素構造を定義する。
• 接続の正則性および曲率の性質に依拠して、Nijenhuis 張量が消えることにより可積分性を証明する。
• ツイスター構成の文脈において Nijenhuis 張量の消滅を検証するため、複素幾何学および代数幾何学の技法を適用する。
• M が超ケーラーであるとき、ツイスター空間が自然な正則構造を持つことを利用し、これを一般の超複素ケースへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の超複素多様体のツイスター空間は可積分であるか、それとも可積分性には超ケーラー幾何学的構造などの追加条件が必要か？
• RQ2 超複素多様体の接 bundle における四元数作用が、そのツイスター空間の複素構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Kähler 条件やリッチ平坦条件を仮定せずに、ツイスター空間の可積分性を超複素構造のみから確立できるか？
• RQ4 ツイスター空間上に定義された自然なほぼ複素構造が、可積分性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 超ケーラー計量が存在しない状況下でも、ツイスター空間の構成は正則性の性質を保存するか？

主な発見

• 任意の超複素多様体のツイスター空間は、それが超ケーラーであるかどうかにかかわらず、可積分である。
• ツイスター空間上に定義された自然なほぼ複素構造の Nijenhuis 張量が消えることにより、可積分性が確立される。
• この構成は、接 bundle における四元数作用に依存しており、2-球面によってパrameter された複素構造の族を誘導する。
• 古典的な事実、すなわち超ケーラー多様体のツイスター空間が正則的である、という事実を、すべての超複素多様体へ一般化した結果である。
• Kähler 計量を必要としない微分幾何学的技法（曲率と正則性の性質）を用いて証明がなされている。
• ツイスター空間は、超複素構造から自然に正則構造を引き継ぎ、一般の場合における可積分性が確認された。