[論文レビュー] Integrable and superintegrable systems of cylindrical type in magnetic fields

Ondřej Kubů|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 4

ひとこと要約

この修士論文は、円柱座標系における第二順位の運動積分の量子力学的決定方程式を導出し、解くことにより、磁場中における可積分および超可積分系の円柱型分類を実施している。既知の第一順位の超可積分系をすべて特定し、$L^2 + \ldots$ や $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$ の形の追加積分を有する多数の新しい古典的系を発見した。これらすべての系は $L_z$ を第一順位積分として持ち、円柱座標系で変数分離が可能であり、解析的解が得られない場合には数値的に軌道を分析した。

ABSTRACT

The goal of this thesis is the search for integrable and superintegrable systems with magnetic field. We formulate the quantum mechanical determining equations for second order integrals of motion in the cylindrical coordinates and we find all quadratically integrable systems of the cylindrical type. Among them we search for systems admitting additional integrals of motion. We find all systems with an additional first order integral both in classical and quantum mechanics. It turns out that all these systems have already been known and no other exist. We also find all systems with an additional integral of type $L^2+\ldots$, respectively $L_y p_y-L_x p_y+\ldots$, of which the majority is new to the literature. All found superintegrable systems admit the first order integral $L_z$ and we solve their Hamilton-Jacobi and Schrödinger equations by separation of variables in the cylindrical coordinates, for the first order systems in the Cartesian coordinates as well.

研究の動機と目的

• 磁場中における円柱型の可積分および超可積分系を体系的に分類すること。
• 円柱座標系における第二順位の運動積分の量子力学的決定方程式を導出し、解くこと。
• 標準的な二次的可積分性を超える追加の第一順位および第二順位積分を有するすべての系を特定すること。
• 円柱座標系および直交座標系におけるハミルトニアン＝ヤコビ方程式およびシュレーディンガー方程式の分離可能性を分析すること。
• 古典的・量子的対応関係を調査し、閉じた軌道を描く系における高次積分の候補を同定すること。

提案手法

• 円柱座標系における第二順位運動積分の量子力学的決定方程式の定式化。
• 磁場およびスカラー潜在エネルギーパラメータに制約を課えた下での決定方程式の解法、$\psi(\phi)$-依存項および $\hbar^2$-補正を含む。
• ゲージ不変な定式化を用いて解析を簡略化し、特に適切なゲージで $X_2 = p_z$ および $\tilde{X}_1 = p_\phi$ を設定すること。
• 物理的直感に基づく第二順位積分のアンサンブルの適用：$L^2 + \ldots$ および $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$ により、$\beta(\phi)$ に関する非線形常微分方程式が導かれる。
• 発見されたすべての系について、ハミルトニアン＝ヤコビ方程式およびシュレーディンガー方程式の変数分離を実施し、必要に応じて特殊関数で解を表現すること。
• 解析的統合に失敗した系の軌道についての数値的分析を実施し、有界性および閉じた性質に注目して、高次積分の候補を同定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁場中において追加の第一順位積分を有する円柱型可積分系はどれであり、それらは文献にすでにすべて記載されているのか？
• RQ2 磁場中における円柱座標系で $L^2 + \ldots$ や $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$ の形の第二順位積分を有する完全な古典的系の集合は何か？
• RQ3 発見されたすべての超可積分系は円柱座標系で変数分離可能であるか？また、適用可能な場合には直交座標系でも分離可能であるか？
• RQ4 どの系が有界で閉じた軌道を描き、それらは二次的積分を超える高次積分の有望な候補であるか？
• RQ5 量子補正は、これらの系のスカラー潜在エネルギーや積分にどのように影響を及ぼすのか？また、古典的・量子的対応関係の性質は何か？

主な発見

• 古典的および量子的力学において追加の第一順位積分を有するすべての系は、文献にすでに知られていたため、新たな系は発見されなかった。
• $L^2 + \ldots$ や $L_x p_y - L_y p_x + \ldots$ の形の第二順位積分を有する多数の新しい古典的系が発見され、その多くは以前に発表されていなかった。
• 発見されたすべての超可積分系は第一順位積分 $L_z$ を有しており、これにより円柱座標系での変数分離が可能である。
• すべての系について、ハミルトニアン＝ヤコビ方程式およびシュレーディンガー方程式が円柱座標系で変数分離により解かれた。一部の系は直交座標系でも分離可能であった。
• 数値的分析により、有界で閉じた軌道を示すのは唯一の系（2.2.2節の系II）に限られ、これが高次積分の主要な候補であることが判明した。
• 第二順位積分におけるスカラー潜在エネルギーや量子補正は非自明なものであり、それらの完全な量子的解析は今後の研究に延期された。