[論文レビュー] Integrable Lagrangians and modular forms

E. V. Ferapontov, A. V. Odesskiĭ|ArXiv.org|Jul 23, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ラグランジアン密度 f のための4階偏微分方程式系として定式化された可積分性条件が、20パラメータのリー変換群に関して不変であることを示すことにより、3次元の可積分ラグランジアンとモジュラー形式との間に深い関係を確立する。一般解は、複素ハイパボリックボール上の重み1、レベル3のモジュラー形式に対応し、可積分性条件が線形化され、自己同型関数に基づくマスターラグランジアン構造が明らかになる。

ABSTRACT

We investigate non-degenerate Lagrangians of the form $$ \int f(u_x, u_y, u_t) dx dy dt $$ such that the corresponding Euler-Lagrange equations $ (f_{u_x})_x+ (f_{u_y})_y+ (f_{u_t})_t=0 $ are integrable by the method of hydrodynamic reductions. We demonstrate that the integrability conditions, which constitute an involutive over-determined system of fourth order PDEs for the Lagrangian density f, are invariant under a 20-parameter group of Lie-point symmetries whose action on the moduli space of integrable Lagrangians has an open orbit. The density of the `master-Lagrangian' corresponding to this orbit is shown to be a modular form in three variables defined on a complex hyperbolic ball. We demonstrate how the knowledge of the symmetry group allows one to linearise the integrability conditions.

研究の動機と目的

• 3次元ラグランジアン f(u_x, u_y, u_t) が、流体的還元を用いて可積分となるような非退化なラグランジアンを特徴付けること。
• 可積分性条件の完全な対称性群を特定し、その群が可積分ラグランジアンのモジュライ空間に作用する様子を分析すること。
• 多変数のモジュラー形式および自己同型関数を用いて、可積分性系の明示的解を構成すること。
• 可積分性系の一般解が、重み1、レベル3のモジュラー形式に対応することを示すこと。
• 既知の多項式ラグランジアン（例：分散なしKP、Boyer-Finley）との関係を、対称性変換による退化極限を通じて探ること。

提案手法

• ラグランジアン密度 f のヘッシアン H、2階微分の対称行列 M、および3次微分形式 d^3f と 4次微分形式 d^4f を含む、コン pact な微分的恒等式から可積分性条件が導出される。
• 可積分性系が、射影的およびアフィン変換からなる20パラメータのリー群（SL(4,R) に同型）に関して不変であることが証明される。
• 対称性削減法を用いて、群作用の下で線形化された系を満たす微分不変量を同定することで、可積分性系を線形化する。
• f = u_x u_y g(u_t) の場合、Gl(2,R)-不変性を用いて g の常微分方程式が導かれ、その解としてのテータ級数が得られ、z = u_t / (2πi) と置換するとモジュラー形式になる。
• 一般の場合 f(u_x, u_y, u_t) については、2変数または3変数のモジュラー形式を用いた級数展開により自己同型解を構成する。
• 対称性群の開軌道を同定し、解空間を領域 D 上の G-不変関数として実現することにより、マスターラグランジアン密度を複素ハイパボリックボール上のモジュラー形式として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ラグランジアン f(u_x, u_y, u_t) の可積分性条件の完全な対称性群は何か？
• RQ2 対称性群を用いて可積分性系をどのように線形化できるか？
• RQ3 可積分ラグランジアンのモジュライ空間の幾何学的・算術的構造は何か？
• RQ4 可積分性系の一般解は、モジュラー形式または自己同型形式として表現可能か？
• RQ5 既知の多項式ラグランジアン（例：分散なしKP、Boyer-Finley）は、マスターラグランジアンのどの退化極限として現れるか？

主な発見

• 3次元ラグランジアン f(u_x, u_y, u_t) の可積分性条件は、SL(4,R) に同型な20パラメータのリー群（射影的およびアフィン変換）に関して不変であり、可積分ラグランジアンの20次元モジュライ空間上で開軌道を有する。
• f = u_x u_y g(u_t) で g(u_t) = ∑_{(α,β)∈ℤ²} e^{(α²−αβ+β²)u_t} のとき、可積分性系の一般解は、重み1、レベル3のモジュラー形式、具体的には Eisenstein 級数 E_{1,3}(z) に対応する。
• u_t = 2πiz と置換すると、級数 g(u_t) はモジュラー形式 E_{1,3}(z) に一致し、これはモジュラー群 Γ(3) 上の正則尖点形式（重み1）である。
• マスターラグランジアン密度は、行列 J で定義されるヘルミート形式を保存する SL(4,ℂ) の部分群 G ⊂ SL(4,ℂ) が作用する複素ハイパボリックボール D 上のモジュラー形式として実現される。
• マスターラグランジアンの退化極限として、分散なしKP や Boyer-Finley 方程式といった既知の多項式ラグランジアンが回復され、一元的な対称性に基づく枠組みが示唆される。
• 対称性群の作用により、可積分性系が線形化され、SL(4,R) 変換の下で線形系を満たす3つの微分不変量 x, y, z が同定される。