[論文レビュー] Integrable Lattices: Random Matrices and Random Permutations

Pierre van Moerbeke|ArXiv.org|Oct 13, 2000

Random Matrices and Applications参考文献 50被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、時間パラメータを備えたこれらのモデルにおける確率が、可積分格子（例：Toda、Pfaff、Toeplitz）およびPDE（例：KdV）のτ関数となることを示すことにより、確率行列理論、確率的置換、可積分系の間に深い接続を確立する。主な貢献は、これらの確率がVirasoro制約および可積分階層を満たし、Painlevé型微分方程式へと導くことにある。これにより、確率行列アンサンブルとソリトン理論、特殊関数が統合される。

ABSTRACT

These lectures present a survey of recent developments in the area of random matrices (finite and infinite) and random permutations. These probabilistic problems suggest matrix integrals (or Fredholm determinants), which arise very naturally as integrals over the tangent space to symmetric spaces, as integrals over groups and finally as integrals over symmetric spaces. An important part of these lectures is devoted to showing that these matrix integrals, upon apropriately adding time-parameters, are natural tau-functions for integrable lattices, like the Toda, Pfaff and Toeplitz lattices, but also for integrable PDE's, like the KdV equation. These matrix integrals or Fredholm determinants also satisfy Virasoro constraints, which combined with the integrable equations lead to (partial) differential equations for the original probabilities.

研究の動機と目的

• 可積分系の枠組みを通じて、確率行列アンサンブルと確率的置換統計を統一すること。
• 時間パラメータを導入した場合、確率行列および置換モデルにおける確率が可積分階層のτ関数に変わるのを示すこと。
• これらの確率がVirasoro制約および可積分方程式を満たし、Painlevé型微分方程式へと導くこと。
• 無限大の確率行列アンサンブルにおけるFredholm行列式がKdV方程式のτ関数であることを確立すること。
• 有限および無限大の確率行列アンサンブルおよび置換統計におけるPainlevé超越関数の出現を探索すること。

提案手法

• 対称空間、古典的群、接空間上の行列積分を用いて、確率行列および置換アンサンブルをモデル化する。
• 指数関数 $ \exp\left(\sum t_i y^i\right) $ を介して時間変数 $ t_1, t_2, \dots $ を積分に導入し、確率を母関数に変換する。
• これらの母関数が可積分格子（Toda、Pfaff、2d-Toda、Toeplitz）およびPDE（KdV）のτ関数であり、双線形恒等式を満たすことを示す。
• 頂点作用素技法および固定点解析を用いて、β-積分および行列積分に対するVirasoro制約を導出する。
• AomotoによるSelberg積分の拡張を用いて、Jacobiアンサンブルに現れる微分方程式の初期条件を計算する。
• 一般の3階微分方程式をChazyクラスに写像し、Painlevé II、IV、V、VI方程式を標準形として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル領域の境界が変化する際、確率行列アンサンブル（Gaussian、Laguerre、Jacobi）における確率がどのように関数として変化するか？
• RQ2 時間パラメータが、確率行列および置換確率を可積分系のτ関数に変換する役割は何か？
• RQ3 Virasoro制約と可積分階層が、元の確率の微分方程式をどのように導くか？
• RQ4 無限大の確率行列モデルにおけるFredholm行列式が、KdV方程式の解としてどのように実現されるか？
• RQ5 確率的置換における最長増加部分列の統計は、可積分系およびPainlevé超越関数とどのように関係するか？

主な発見

• 確率行列のすべての固有値が部分集合 $ E $ に含まれる確率の母関数は、時間変数を加えるとToda格子のτ関数に変わる。
• Jacobiアンサンブルでは、確率母関数がPainlevé V方程式を満たし、Selberg積分のAomoto拡張を用いて導出される。
• 確率的置換における最長増加部分列の母関数はPainlevé II方程式を満たし、初期条件は $ f(0) = 0 $、$ f'(0) = f''(0) = 0 $ である。
• 無限大の確率行列から生じるFredholm行列式がKdV方程式のτ関数であることが示され、確率行列理論とソリトン理論が結びつけられる。
• 古典的群および対称空間上の行列積分は、自然に2d-TodaおよびToeplitz格子を含む可積分階層の解を生じる。
• 3階微分方程式のChazyクラスは、Painlevé II、IV、V、VIを特別なケースとして含み、マスター方程式は $ f'' $ に関して2次の第一積分を有する。