[論文レビュー] Integrable Lax Hierarchies, their Symmetry Reductions and Multi-Matrix Models

H. Aratyn|ArXiv.org|Mar 29, 1995

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 47被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、階数付き$SL(r+n,n)$代数を用いて制約付きKP階層を統一的に扱う枠組みを提示し、異なるLax作用素形式の等価性を確立するとともに、Darboux-Bäcklund変換がToda格子構造とWronskian解を生成する仕組みを示した。さらに、二行列モデルと制約付きToda系の関係を明らかにし、tau関数の技法を用いて分割関数の明示的表現を導出した。

ABSTRACT

Some new developments in constrained Lax integrable systems and their applications to physics are reviewed. After summarizing the tau function construction of the KP hierarchy and the basic concepts of the symmetry of nonlinear equations, more recent ideas dealing with constrained KP models are described. A unifying approach to constrained KP hierarchy based on graded $SL(r+n,n)$ algebra is presented and equivalence formulas are obtained for various pseudo-differential Lax operators appearing in this context. It is then shown how the Toda lattice structure emerges from constrained KP models via canonical Darboux-Bäcklund transformations. These transformations enable us to find simple Wronskian solutions for the underlying tau-functions. We also establish a relation between two-matrix models and constrained Toda lattice systems and derive from this relation expressions for the corresponding partition function.

研究の動機と目的

• 階数付き$SL(r+n,n)$代数を用いた制約付きKP階層の統一的アプローチの構築。
• 比に基づく形式と擬微分形式を含む、異なるLax作用素形式の等価性の確立。
• Darboux-Bäcklund変換が制約付きKPモデルからToda格子構造をどのように誘導するかの示唆。
• 二行列モデルと制約付きToda格子系の関連付けおよびそれらの分割関数の導出。
• Darboux-Bäcklund技法を用いてtau関数の明示的Wronskian表現を提供すること。

提案手法

• tracelessな$SL(m,n)$制約を満たす純微分作用素の比として表されるLax作用素$L_{m,n} = L^{(m)} / L^{(n)}$を用いた制約付きKP階層の定式化。
• 別のLax作用素形式$L_{r+n,n} = D^r + \sum_{l=0}^{r-2} u_l D^l + \sum_{i=1}^n \Phi_i D^{-1} \Psi_i$の導入。ここで$\Psi_i$は$L^{(n)}$の核に関連する。
• Darboux-Bäcklund変換を用いて、$SL(p,q)$ cKP階層におけるtau関数の正確なWronskian解を生成。
• cKP階層の対称性構造とToda格子のシフト対称性との間の標準的対応を確立。
• AKSアプローチと二重ポアソン構造を用いて、ハミルトニアン密度およびtau関数表現を分析。
• 二行列モデルの分割関数を、$SL(r+1,1)$-cKP階層に写像し、Wronskian技法を適用することで導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階数付き$SL(r+n,n)$代数を用いて、制約付きKP階層をどのように体系的に統一できるか？
• RQ2 制約付きKPモデルにおける比に基づく形式と擬微分形式のLax作用素の間の正確な等価性は何か？
• RQ3 Darboux-Bäcklund変換は、制約付きKP系からどのようにToda格子ダイナミクスを誘導するか？
• RQ4 Wronskian行列式は、cKP階層におけるtau関数の正確解を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 二行列モデルはどのように制約付きToda格子系に写像され、その分割関数はどのように導出可能か？

主な発見

• $SL(r+n,n)$代数は、制約付きKP階層の統一的枠組みを提供し、代数のトレースレス性が制約$\sum v_j - \sum \tilde{v}_l = 0$に対応する。
• 形式$L_{r+n,n} = D^r + \sum u_l D^l + \sum \Phi_i D^{-1} \Psi_i$は、$SL(r+n,n)$構造を明示的に実現し、$\Phi_i, \Psi_i$を用いて第一のポアソン括弧のアーベル化を可能にする。
• Darboux-Bäcklund変換により、tau関数のWronskian表現が単純化され、$n$-ソリトン解に対して$\tau = W_n / W_{n-1}$が得られる。
• Toda格子構造は、標準的Darboux-Bäcklund変換を通じて制約付きKP階層から自然に出現し、連続的可積分系と離散的格子力学の間の関連が明確になる。
• 二行列モデルの分割関数はWronskian行列式として得られ、ストリング方程式と直交多項式技法により離散的線形系の表現が得られる。
• Grassmann多様体と$n$-ソリトン解の関係は、Wronskian公式$\partial^2 \ln W_n = W_{n+1} W_{n-1} / W_n^2$を介して確立される。