[論文レビュー] Integrable Markov processes and quantum spin chains

Vladislav Popkov, Gunter Schuetz|ArXiv.org|Feb 13, 2003

Theoretical and Computational Physics参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、可積分なマコフ過程および量子スピンチェーンを解くために、動的行列積アンザッツ（DMPA）を導入し、周期的系への応用を示している。ヤン・バクスター方程式を用いた代数的整合性条件の導出により、パラメータ依存の転送行列を構築することなく、可積分モデルを同定可能となり、確率的および量子ハミルトニアンの直接的スペクトル解析が可能となる。

ABSTRACT

A set of Markov processes corresponding to systems of hard-core particles interacting along the line are shown to be solvable via a dynamic matrix product ansatz (DMPA). We show that quantum spin Hamiltonians can be treated by the DMPA as well, and demonstrate how the DMPA, originally formulated for systems with open ends, works for periodic systems.

研究の動機と目的

• 従来の応用が不完全であった周期的境界条件への動的行列積アンザッツ（DMPA）の拡張。
• 統一された代数的枠組みを通じて、確率過程と量子スピンハミルトニアンの直接的関連を確立すること。
• 確率的および量子モデルの可積分性が、DMPAから導かれる整合性条件を用いてテスト可能であることを示すこと。
• ヤン・バクスター方程式がDMPA代数から自然に導かれ、可換な転送行列の事前知識なしに可積分性の基準を提供すること。
• 従来の面倒な転送行列手法を回避し、DMPA代数から直接ベーテアンザッツ方程式を構築できること。

提案手法

• 連続時間マコフ過程のマスタ方程式を、非エルミートハミルトニアン $ H $ を持つ虚時間におけるシュレーディンガー方程式の形に定式化する。
• 確率的状態ベクトル $ |P(t) angle $ を、時刻に依存する行列 $ E, D, Q $ の積のトレースとして表し、DMPAアンザッツを用いる：$ |P(t) angle riangleq ext{Tr} ig[ (E igotimes D)^{igotimes L-1} igotimes (EQ igotimes DQ) ig] $。
• DMPAアンザッツがマスタ方程式 $ d|P(t) angle/dt = -H|P(t) angle $ を満たす条件を課し、行列に対する代数的制約を導出する。
• フーリエ成分 $ ilde{D}^A_p, ilde{D}^B_p $ の代数を導出し、スキャッタリング行列関係 $ ilde{D}^Z_{p_1} ilde{D}^{Z'}_{p_2} = S^{ZZ'}_{YY'}(p_1,p_2) ilde{D}^{Y'}_{p_2} ilde{D}^Y_{p_1} $ を満たすことを示し、これによりダイナミクスが符号化される。
• 高次項における代数的整合性を保証するため、スキャッタリング行列 $ S $ がヤン・バクスター方程式（YBE）を満たす必要があることを要求する。
• 記号計算（Mathematica）を用いてYBEを体系的に解き、5つの $ ext{sign}( ext{sign}) $ パラメータ $ i_1, ext{...}, i_5 = igpm 1 $ を持つ一般解を導出し、新たな可積分モデル族を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的行列積アンザッツ（DMPA）は、従来の定式化が不完全であった周期的系へ、うまく拡張可能か？
• RQ2 パラメータ依存の転送行列を構築することなく、DMPAを用いて確率的過程および量子スピンチェーンの可積分性をどのようにテストできるか？
• RQ3 三体演算子のレベルでDMPAの整合性を要求した際に生じる代数的制約は何か？ そしてそれらはヤン・バクスター方程式とどのように関係するか？
• RQ4 DMPAフレームワークは、可積分モデルのスペクトルに対するベーテアンザッツ方程式を直接生成可能か？
• RQ5 このDMPAに基づくアプローチから、ヤン・バクスター方程式の新たな解のクラスがどのように導かれるか？ そして、XXZスピンチェーンのような既知のモデルをどのように一般化するか？

主な発見

• 周期的境界条件を行列 $ Q $ を用いて導入することで、DMPAが周期的系に成功裏に一般化され、輪環上でのマスタ方程式の解法が可能となった。
• DMPAの代数的構造から導かれるスキャッタリング行列 $ S $ がヤン・バクスター方程式を満たす必要があることが示され、これは可積分性の必要十分条件を提供する。
• ヤン・バクスター方程式の新たな一般解が導出され、5つの $ ext{sign}( ext{sign}) $ パラメータ $ i_1, ext{...}, i_5 = igpm 1 $ でパラメータ化されており、XXZスピンチェーンやサザーランドの解を含む既知のモデルを包含する。
• 可換な転送行列を構築する必要がなくなり、可積分性のテストの複雑さがスピン-1の場合の $ 27^2 $ 成分から、代数の結合則を満たすための最大 $ 8^2 $ 方程式にまで低減された。
• スペクトルのベーテアンザッツ方程式がDMPA代数から直接構築可能であり、XXZモデルの例で示されたように、一般化への明確な道筋が得られた。
• 本手法は、排他過程などの確率的過程および量子スピンチェーンの両方へ適用可能であり、単一の代数的枠組みで両者の統一的取り扱いが可能となった。