[論文レビュー] Integrable model of nonlinear dislocations

Nikolay A. Kudryashov|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続極限近似を用いてFermi-Pasta-UlamモデルとFrenkel-Kontorovaモデルを統合することで、結晶格子内の不純度波を記述する一般化された非線形偏微分方程式を提案する。PainlevéテストとAKNSスケームを用いて、可積分なケースを同定し、Laxペアを導出し、正確な1および2ソリトン解を構成した。これにより、パラメータ依存のソリトンダイナミクスを示し、方程式の可積分な階層を提案した。

ABSTRACT

Using the continuous limit approximation in the dynamical system we study a nonlinear partial differential equation which corresponds to the generalization of both the Fermi-Pasta-Ulam and the Frenkel-Kontorova models. This generalized model can be considered as a model for the description nonlinear dislocation waves in the crystal lattice. We obtain the nonlinear partial differential equation for the description of dislocations. Taking into account the wave moving in one direction we obtain another nonlinear evolution equation. Using the Painlevé test we analyze the integrability of this equation. We find that there exist an integrable case of the partial differential equation for nonlinear dislocations. The Lax pair for the solution of the Cauchy problem is found. The solution of the Cauchy problem for nonlinear evolution equation is discussed. One and the two-soliton solutions for the nonlinear evolution equation are presented. The influence of parameters on the propagation of one and the two-soliton solutions is analyzed and demonstrated.

研究の動機と目的

• 結晶内の不純度ダイナミクスを記述するため、Fermi-Pasta-UlamモデルとFrenkel-Kontorovaモデルを統合した非線形力学系に一般化すること。
• N→∞およびh→0の連続極限近似を用いて、不純度波の非線形偏微分方程式（PDE）を導出すること。
• 得られたPDEの可積分性をPainlevéテストを用いて分析し、Cauchy問題のためのLaxペアを構築すること。
• 1および2ソリトン解を導出し、パラメータの変化に伴う挙動を分析すること。
• 導出されたPDEを一般化する可積分な階層を提案し、逆散乱変換による解法可能性を検討すること。

提案手法

• 非線形相互作用（α, β ≠ 0）および周期的ポテンシャル（f₀ ≠ 0）を持つ離散力学系（1）に連続極限近似を適用し、変位をh⁴までテイラー展開する。
• 空間微分の線形・二次・三次非線形項を含む4階非線形PDE（式8）を導出し、不純度波の伝播を記述する。
• 進行波アンザッツ（式9）を導入し、PDEを1方向の波動運動を記述する非線形発展方程式（式11）に簡略化する。
• 簡略化された方程式の可積分性を評価するためPainlevéテストを適用し、可積分ケースの存在を確認する。
• AKNSスケームを用いて可積分ケースのLaxペアを構築し、逆散乱変換によるCauchy問題の解法を可能にする。
• 1および2ソリトン解を解析的に導出し、パラメータ（μ₁, μ₂, λ₁, λ₂, β, δ）の変化に伴う数値的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形相互作用（α, β ≠ 0）および周期的ポテンシャル（f₀ ≠ 0）を持つ一般化された力学系（1）は、連続極限において可積分な非線形PDEを生じるか？
• RQ2 Painlevéテストは、導出された非線形発展方程式（11）の可積分性を確認できるか？
• RQ3 可積分ケースにおけるLaxペアの構造は何か？ そして、これによりCauchy問題がどのように解けるか？
• RQ4 パラメータμ₁, μ₂, λ₁, λ₂, β, δは1および2ソリトン解のダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 導出された方程式はより広範な可積分階層の一部であるか？ また、階層の高次のメンバーはソリトン解を支持できるか？

主な発見

• 一般化された力学系の連続極限により、3次非線形項と周期的ポテンシャルを有する4階非線形PDE（式8）が得られ、非線形不純度波をモデル化する。
• Painlevéテストにより、簡略化された非線形発展方程式（式11）の可積分性が確認され、特定の可積分ケースが同定された。
• 可積分ケースに対してLaxペアが明示的に構築され、逆散乱変換を用いたCauchy問題の解法が可能になった。
• 1および2ソリトン解が解析的に導出され、そのダイナミクスがμ₁, μ₂, λ₁, λ₂, β, δに強く依存することが示された。
• 方程式は可積分階層の第1メンバー（式40）として特定され、高次のメンバー（例：式42）は1ソリトン解を有することが確認された。
• 数値シミュレーションにより、ソリトンの形状および相互作用ダイナミクスがβおよびδに著しく影響を受けることが確認され、β = 0.01とβ = 10.0では明確に異なる挙動が観察された。