[論文レビュー] Integrable models with twist function and affine Gaudin models

Sylvain Lacroix|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、ねじれ関数とアフィン・ゴードン・モデルを用いて、古典的および量子可積分場理論の統一的枠組みを構築する。ねじれループ代数を介して、Lax形式およびR行列構造を一般化し、スペクトルパラメータに依存するR行列と超幾何的保存量を通じて、ハミルトニアン可積分性、接触項を伴う古典的ヤン・バクスター方程式、および量子ゴードン・モデルの間の関係を確立する。

ABSTRACT

This thesis deals with a class of integrable field theories called models with twist function. The main examples of such models are integrable non-linear sigma models, such as the Principal Chiral Model, and their deformations. A first obtained result is the proof that the so-called Bi-Yang-Baxter model, which is a two-parameter deformation of the Principal Chiral Model, is also a model with twist function. It is then shown that inhomogeneous Yang-Baxter type deformations modify certain global symmetries of the undeformed model into Poisson-Lie symmetries. Another chapter concerns the construction of an infinite number of local charges in involution for all integrable sigma models and their deformations : this result is based on the general formalism shared by all these models as field theories with twist function. The second part of the thesis concerns Gaudin models. These are integrable models associated with Lie algebras. In particular, field theories with twist function are related to Gaudin models associated with affine Lie algebras. A standard approach for studying the spectrum of quantum Gaudin models over finite algebras is the one of Feigin-Frenkel-Reshetikhin. In this thesis, generalisations of this approach are conjectured, motivated and tested. One of them deals with the so-called cyclotomic finite Gaudin models. The second one concerns the Gaudin models associated with affine Lie algebras.

研究の動機と目的

• ねじれ関数がポisson構造を変更する方法を用いて、場理論におけるLax形式およびハミルトニアン可積分性を一般化すること。
• 古典的可積分模型におけるねじれ関数と量子的アフィン・ゴードン・モデルとの間の対応関係を確立すること。
• ねじれ関数形式を用いて、可積分σ模型における局所的で互いに可換な荷量を構成すること。
• ねじれループ代数と等変性R行列が、非超局的ポisson括弧を実現する上で果たす役割を明らかにすること。
• 特に立方超幾何型の高次保存量を、アフィン・ゴードン・モデルで導出し、分析すること。

提案手法

• 有理的ねじれ関数 ϕ(λ) を用いてLax行列とモノドロミー行列を定式化し、ループ代数上のねじれ双線形形式を通じて非歪対称R行列を定義する。
• 主値核から修正された古典的ヤン・バクスター方程式（mCYBE）を導出し、分布的接触項を含む。さらに、その方程式をメロモルフィック続行により標準的R行列と関連付ける。
• Lie代数 g の自己同型 σ と単位根 ω を用いてねじれR行列を導入し、等変性ループ代数 L(g, σ) とAKS型分解を構成する。
• スペクトルパラメータとねじれ関数を伴う古典的R行列構造から、量子アフィン・ゴードン・モデルを構築し、そのハミルトニアン構造を導出する。
• ゴードン構成を適用して、ねじれ関数とミウラ作用素を用いて可換なハミルトニアンおよび保存量を得る。
• 留数計算とスペクトルパラメータ依存性を用いて、アフィン・ゴードン・モデルにおける立方超幾何的保存量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれ関数 ϕ(λ) の導入が、古典的可積分場理論におけるポisson構造およびR行列にどのように影響を与えるか？
• RQ2 ねじれループ代数 L(g, σ) は、非超局的ポisson括弧を実現し、非自明なスペクトルパラメータを伴うR行列を構成するために果たす役割は何か？
• RQ3 ねじれ関数を用いた古典的可積分模型と、R行列およびハミルトニアン構造を通じて関連づけられる量子アフィン・ゴードン・モデルの関係は何か？
• RQ4 アフィン・ゴードン・モデルにおける保存量の構成の背後にある代数的・幾何的構造（例：ミウラ作用素、フラッグ多様体）は何か？
• RQ5 立方超幾何型の高次保存量といった、より高次の保存量が、ねじれ関数形式を用いてアフィン・ゴードン・モデルで体系的に導出可能か？

主な発見

• ねじれ関数 ϕ(λ) は、主値をメロモルフィック核に置き換えることで、非修正古典的ヤン・バクスター方程式（CYBE）を満たす非歪対称R行列 R12(λ, µ) = R012(λ, µ)ϕ(µ)−1 を誘導する。
• ループ代数 L(g) 上の標準的R行列は R012(λ, µ) = C12/(µ − λ) で与えられ、自己同型 σ を用いたねじれ版は R012(λ, µ) = (1/T)∑_{k=0}^{T-1} σ^k(C12)/(µ − ω^{-k}λ) で与えられ、ねじれCYBEを満たす。
• 等変性条件 ϕ(ωλ) = ω^{-1}ϕ(λ) は、ねじれループ代数 L(g, σ) 上のねじれ双線形形式の不変性を保証し、この部分代数上での一貫性のあるR行列構成を可能にする。
• 古典的R行列にねじれ関数を組み合わせた構成により、アフィン・ゴードン・モデルが構成され、ゴードン構成によって可換なハミルトニアンと保存量の族が得られる。
• 留数計算とスペクトルパラメータ依存性を用いて、アフィン・ゴードン・モデルにおける立方超幾何的保存量が導出され、超幾何関数を用いた明示的表現が得られる。
• この枠組みは、ねじれ関数とR行列形式を通じて、古典的可積分σ模型（例：二ヤン・バクスター型、q変形型）と量子アフィン・ゴードン・モデルを統一し、古典的および量子可積分性の間の橋渡しを確立する。