[論文レビュー] Integrable peakon equations with cubic nonlinearity

Andrew N. W. Hone, Jing Ping Wang|ArXiv.org|May 28, 2008

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヴラジミール・ノヴィコフによって発見された、立方非線形性を有する新たな可積分なピークオン方程式を提示する。この方程式は、ピークオン解を支持し、行列型のラクスペア、バイハミルトニアン構造、およびサワダ＝コテラ階層との逆変換関係を有する。主な貢献は、二ピークオン動力学の明示的統合と、チージュイジャン・チョウの関連する立方ピークオン方程式との比較的分析である。

ABSTRACT

We present a new integrable partial differential equation found by Vladimir Novikov. Like the Camassa-Holm and Degasperis-Procesi equations, this new equation admits peaked soliton (peakon) solutions, but it has nonlinear terms that are cubic, rather than quadratic. We give a matrix Lax pair for V. Novikov's equation, and show how it is related by a reciprocal transformation to a negative flow in the Sawada-Kotera hierarchy. Infinitely many conserved quantities are found, as well as a bi-Hamiltonian structure. The latter is used to obtain the Hamiltonian form of the finite-dimensional system for the interaction of $N$ peakons, and the two-body dynamics (N=2) is explicitly integrated. Finally, all of this is compared with some analogous results for another cubic peakon equation derived by Zhijun Qiao.

研究の動機と目的

• 立方非線形性を有する新たな偏微分方程式の可積分性および構造的性質を調査すること。
• ゼロ曲率表現を用いて行列型ラクスペアを確立し、可積分性を確認すること。
• 逆変換を用いて、方程式とサワダ＝コテラ階層との関係を調査すること。
• 二つの可換なハミルトニアン作用素を用いてバイハミルトニアン構造を構築し、有限次元ピークオン動力学のハミルトニアン形式を得ること。
• ラクスペア、保存量、ピークオン挙動の観点から、新規方程式とチョウの立方ピークオン方程式を比較すること。

提案手法

• ゼロ曲率表現を用いて、ノヴィコフ方程式の行列型ラクスペアを導出し、可積分性を確認する。
• 逆変換を適用して、方程式をサワダ＝コテラ階層の負の流れに関連付ける。
• 二つの可換なハミルトニアン作用素を用いて、方程式の可積分構造を記述するバイハミルトニアン構造を構築する。
• バイハミルトニアンフレームワークを用いて、Nピークオンのハミルトニアン系を導出し、位置と振幅が常微分方程式に従って進化することを示す。
• 導出されたハミルトニアン形式を用いて、二ピークオン動力学を明示的に統合する。
• 分布的解法を用いて、ラクスペア、バイハミルトニアン構造、およびピークオン解の観点から、結果をチョウの式と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新規な立方ピークオン方程式は、ラクスペアとバイハミルトニアン構造を有するか。これにより可積分性が確認されるか？
• RQ2 新規方程式は、サワダ＝コテラ階層などの既知の可積分階層とどのように関係しているか？
• RQ3 N=2の有限次元ピークオン動力学は、導出されたハミルトニアン形式を用いて明示的に解けるか？
• RQ4 ノヴィコフ方程式のピークオン解は、チョウ方程式のピークオン解と構造的および保存則の観点からどのように比較できるか？
• RQ5 分布的解法は、立方非線形性方程式のピークオン解を検証する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 式 $ m_t + u^2 m_x + 3u_x m = 0 $（ただし $ m = u - u_{xx} $）が、行列型ラクスペアとゼロ曲率条件を用いて可積分であることが示された。
• 逆変換により、方程式がサワダ＝コテラ階層の負の流れに写像され、既知の可積分系と関連づけられた。
• 無限個の保存量の族が導出され、作用素 $ \tilde{\mathcal{B}}_1 = -4D_x m D_x^{-1} m D_x $ および $ \tilde{\mathcal{B}}_2 = -2(D_x - D_x^3) $ を用いてバイハミルトニアン構造が構築された。
• 二ピークオン動力学が明示的に統合され、位置と振幅の閉形式解が得られた。
• 式 $ u = p e^{-|x - q|} $ の形のピークオン解は、部分積分と分布的解法を用いて形式的に妥当化されたが、$ m^2 $ 項が特異的であるにもかかわらず成立する。
• チョウの式と比較すると、標準的なピークオンは存在しないが、形式的ピークオン $ u = \pm \sqrt{c} e^{-|x - ct|} $ は弱い意味で方程式を満たし、その動的挙動は振幅が一定である退化した性質を示す。