[論文レビュー] Integrable systems, toric degenerations and Okounkov bodies

Megumi Harada, Kiumars Kaveh|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トーリック退化とニュートン-オクウンコフ体を用いて、滑らかな複素射影多様体上に完全可積分系を構成する。特異ファイバーへのシンプレクティック同相性と勾配-ハミルトニアンフロー、およびŁojasiewicz型不等式を活用することで、開かつ稠密な部分集合上でハミルトニアントーラス作用を生成する連続的かつポisson可換な関数が得られ、そのミュー写像像は正確にニュートン-オクウンコフ体である。

ABSTRACT

Let X be a smooth complex projective variety of dimension n equipped with a very ample Hermitian line bundle L. In the first part of the paper, we show that if there exists a toric degeneration of X satisfying some natural hypotheses (which are satisfied in many settings), then there exists a completely integrable system on X in the sense of symplectic geometry. More precisely, we construct a collection of real-valued functions H_1, ... H_n on X which are continuous on all of X, smooth on an open dense subset U of X, and pairwise Poisson-commute on U. Moreover, we show that in many cases, we can construct the integrable system so that the functions H_1, ..., H_n generate a Hamiltonian torus action on U. In the second part, we show that the toric degenerations arising in the theory of Newton-Okounkov bodies satisfy all the hypotheses of the first part of the paper. In this case the image of the "moment map" μ= (H_1, ..., H_n): X to R^n is precisely the Okounkov body Δ= Δ(R, v) associated to the homogeneous coordinate ring R of X, and an appropriate choice of a valuation v on R. Our main technical tools come from algebraic geometry, differential (Kaehler) geometry, and analysis. Specifically, we use the gradient-Hamiltonian vector field, and a subtle generalization of the famous Lojasiewicz gradient inequality for real-valued analytic functions. Since our construction is valid for a large class of projective varieties X, this manuscript provides a rich source of new examples of integrable systems. We discuss concrete examples, including elliptic curves, flag varieties of arbitrary connected complex reductive groups, spherical varieties, and weight varieties.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素射影多様体上にトーリック退化を用いた一般の可積分系の構成を確立すること。
• このような可積分系が、同次座標環上の評価から生じるニュートン-オクウンコフ体によって自然に得られることを示すこと。
• 構成された系のミュー写像像が、与えられた評価に対応するニュートン-オクウンコフ体に正確に一致することを証明すること。
• 構成された可積分系が、多様体の開かつ稠密な部分集合上でハミルトニアントーラス作用を生成することを示すこと。
• 広範な新しい可積分系の例を通じて、シンプレクティック幾何学、代数幾何学、表現論を統合すること。

提案手法

• 滑らかな射影多様体 $X$ のトーリック退化 $X_0$ を用い、自然な幾何学的・解析的条件を仮定する。
• 開かつ稠密な部分集合 $U$ において、$X$ から $X_0$ への連続的シンプレクティック同相性を構成し、シンプレクティック構造を保存する。
• 勾配-ハミルトニアンベクトル場と一般化された Łojasiewicz 勾配不等式を適用し、フローの連続性と滑らかさを保証する。
• $X$ 上に実数値関数 $H_1, \dots, H_n$ を定義し、これらは $U$ 上で滑らかで、ペアワイズにポisson可換であり、関数的に独立である。
• ミュー写像 $\mu = (H_1, \dots, H_n)$ の像は、適切な評価 $v$ に対するニュートン-オクウンコフ体 $\Delta(R,v)$ である。
• GIT およびシンプレクティック商の構成を用いて、系がフラッグ多様体、球的多様体、重み多様体と関係することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影多様体上に、適切な幾何学的・解析的条件を満たすトーリック退化を用いて完全可積分系を構成できるか？
• RQ2 このような系のミュー写像像は、同次座標環上の評価から生じるニュートン-オクウンコフ体と一致するか？
• RQ3 構成された可積分系が、多様体の開かつ稠密な部分集合上でハミルトニアントーラス作用を生成することを示せるか？
• RQ4 これらの構成は、フラッグ多様体や重み多様体といった古典的代数的多様体へどのように拡張できるか？
• RQ5 Łojasiewicz 勾配不等式は、可積分系の連続性と滑らかさを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、滑らかな射影多様体 $X$ 上に完全可積分系 $\{H_1, \dots, H_n\}$ を構成し、これらは $X$ 上で連続的で、開かつ稠密な部分集合 $U$ 上で滑らかく、ペアワイズにポisson可換である。
• この系は $U$ 上でハミルトニアントーラス作用を生成し、ミュー写像 $\mu = (H_1, \dots, H_n)$ は $X$ をニュートン-オクウンコフ体 $\Delta(R,v)$ に全射的に写像する。
• フラッグ多様体 $X = \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})/B$ の場合、ミュー写像像はストリングポリトープ $\Delta_{\underline{w}_0}(\lambda)$ に一致し、表現論における既知の結果と一致する。
• 重み多様体 $X_{\lambda,\gamma}$ の場合、ミュー写像像はスライスされたストリングポリトープ $\Delta_{\underline{w}_0}(\lambda,\gamma) = \Delta_{\underline{w}_0}(\lambda) \cap \pi_\lambda^{-1}(\gamma)$ である。
• 構成は GIT およびシンプレクティック商と可換であり、$X_\lambda$、$X_{\lambda,\gamma}$ およびそれらのミュー写像を含む可換図式によって示される。
• 本手法は広く適用可能であり、楕円曲線、球的多様体、その他の複素代数的多様体上に新たな可積分系をもたらす。