[論文レビュー] Integrable viscous conservation laws

Alessandro Arsie, Paolo Lorenzoni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Dubrovinの摂動的アプローチを、非ハミルトニアンで粘性を有するスカラー保存則へと拡張し、積分可能変形をパrameter化するための粘性中心不変量を導入する。この方法により、熱方程式およびクライン＝ゴルドン階層へと写像するミウラ変換を用いて、導かれた方程式の積分可能性を証明し、臨界点における勾配崩壊の振る舞いを記述する粘性 Painlevé I2 方程式を導出する。

ABSTRACT

We propose an extension of the Dubrovin-Zhang perturbative approach to the study of normal forms for non-Hamiltonian integrable scalar conservation laws. The explicit computation of the first few corrections leads to the conjecture that such normal forms are parameterized by one single functional parameter, named viscous central invariant. A constant valued viscous central invariant corresponds to the well-known Burgers hierarchy. The case of a linear viscous central invariant provides a viscous analog of the Camassa-Holm equation, that formerly appeared as a reduction of a two-component Hamiltonian integrable systems. We write explicitly the negative and positive hierarchy associated with this equation and prove the integrability showing that they can be mapped respectively into the heat hierarchy and its negative counterpart, named the Klein-Gordon hierarchy. A local well-posedness theorem for periodic initial data is also proven. We show how transport equations can be used to effectively construct asymptotic solutions via an extension of the quasi-Miura map that preserves the initial datum. The method is alternative to the method of the string equation for Hamiltonian conservation laws and naturally extends to the viscous case. Using these tools we derive the viscous analog of the Painlevé I2 equation that describes the universal behaviour of the solution at the critical point of gradient catastrophe.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン積分可能系に対するDubrovinの摂動的手法を、非ハミルトニアンで粘性を有するスカラー保存則へと拡張すること。
• ミウラ変換によって方程式の形を保ちつつ、変形パラメータの5次までの級数までにわたる積分可能粘性保存則を分類すること。
• すべてのこのような変形を支配する一意的な不変量として、粘性中心不変量と呼ぶ関数的パラメータを同定すること。
• 既知の積分可能階層（熱方程式およびクライン＝ゴルドン）と等価であることを示すことにより、導かれた方程式の積分可能性を証明すること。
• 勾配崩壊点における普遍的振るまいを記述する、Painlevé I2 方程式の粘性版を導出すること。

提案手法

• 小さなパラメータ ε における保存則の摂動展開を採用し、a(u)u_x および高次項を含む粘性補正を含める。
• 積分可能階層を決定する唯一の関数的パラメータとして、粘性中心不変量 a(u) を導入する。
• 方程式の形を保つミウラ変換を用いて、不必要な関数的パラメータを消去し、変形を分類する。
• ミウラ型変換を用いて、粘性カマッサ＝ホルム方程式の正負の階層を、熱方程式およびクライン＝ゴルドン階層へ写像する。
• 輸送方程式および拡張された準ミウラ写像を用いて、初期データを保存する漸近解を構成する。
• スケーリングおよび極限解析を用いて、勾配崩壊点付近で粘性 Painlevé I2 方程式を導出し、再スケーリングおよびCole-Hopf変換を用いて方程式を線形化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dubrovinの摂動的アプローチは、非ハミルトニアンで粘性を有するスカラー保存則へと一般化可能か？
• RQ2 積分可能粘性保存則の空間は、単一の関数的不変量によってパラメータ化可能であり、その物理的・幾何学的意味は何か？
• RQ3 粘性カマッサ＝ホルム方程式の積分可能性構造は何か？ また、既知の積分可能階層とどのように関係するか？
• RQ4 解は勾配崩壊点付近でどのように振る舞い、その普遍的振るまいを記述する方程式は何か？
• RQ5 輸送方程式および拡張されたミウラ写像を用いて、粘性設定下で漸近解を効果的に構成可能か？

主な発見

• すべての積分可能粘性保存則は、粘性中心不変量 a(u) によって一意にパラメータ化され、a(u) が定数の場合はバーガース階層に対応する。
• 線形な a(u) の場合、粘性カマッサ＝ホルム方程式の類似物が得られ、これは積分可能であり、ミウラ変換によって熱方程式およびクライン＝ゴルドン階層へ写像可能である。
• 粘性カマッサ＝ホルム方程式の正負の階層は、それぞれ熱方程式の負の階層および正の階層と同型である。
• 周期的初期データに対して、粘性系における局所的適切性定理を確立した。
• 勾配崩壊点付近では、解の振るまいは粘性 Painlevé I2 方程式によって支配される：$ U_{XX} + 3UU_X + U^3 - UT = X $、これはスケーリングおよび極限解析を用いて導出された。
• 粘性 Painlevé I2 方程式はCole-Hopf変換により線形化され、$ w_{XXX} - T w_X = X w $ となる。一般解は一般化超幾何関数 $_0F_2$ を用いて表される。