[論文レビュー] Integral and differential structures for quantum field theory

Louis E. Labuschagne, W. A. Majewski|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 46被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、量子場の理論における正則性を保証するため、指数関数的およびエントロピー型のオルリッチ空間を用いたオルリッチ空間形式を導入する。これは、グローバルに双曲的でローレンツ的多様体上の接線に沿った条件付けられた局所代数へ非可換微分幾何学を拡張し、相対論的量子場理論における可積分的および微分的構造を統合する枠組みを可能にする。

ABSTRACT

The aim of this work is to firstly demonstrate the efficacy of the recently proposed Orlicz space formalism for Quantum theory \cite{ML}, and secondly to show how noncommutative differential structures may naturally be incorporated into this framework. To start off with we specifically propose regularity conditions which in the context of local algebras corresponding to Minkowski space, ensure good behaviour of field operators as observables, and then show that fields obtained by the Osterwalder-Schrader reconstruction theorem are regular in this sense. The pair of Orlicz spaces we explicitly use for this purpose, are respectively built on the exponential function and on an entropic type function. This formalism has been shown to be well suited to a description of quantum statistical mechanics, and in the present work we show that it is also a very useful and elegant tool for Quantum Field Theory. We then introduce the class of tangentially conditioned algebras, which is a large class of local algebras corresponding to globally hyperbolic Lorentzian manifolds that locally ``look like'' the local algebras of Minkowski space. On the one hand this ensures that at a local level, the Orlicz space formalism discussed above is also relevant for a much more general class of local algebras. On the other hand, the structure of this class of algebras, allows for the development of a non-commutative differential geometric structure along the lines of the du Bois-Violette approach to such a theory. In this way we obtain a complete depiction: integrable structures based on local algebras provide a static setting for an analysis of Quantum Field Theory and an effective tool for describing regular behaviour of field operators, whereas differentiable structures posit indispensable tools for a description of equations of motion.

研究の動機と目的

• オルリッチ空間形式が、特に場の演算子や状態の正則性を保証する上で有効であることを示すこと。
• グローバルに双曲的でローレンツ的多様体上の局所代数に対して、非可換微分構造をオルリッチ空間枠組みに統合すること。
• この形式においてオステルワーラー＝シュライダー再構成定理を拡張し、再構成された場が提案された意味で正則であることを示すこと。
• ドゥ・ボア＝ヴィオレットのアプローチを用いて接線に沿った条件付けられた代数上で微分的幾何的構造を構築し、運動方程式の記述を可能にすること。
• 無限自由度を有する系に対して、代数的量子場理論における静的（積分的）および動的（微分的）構造を統合すること。

提案手法

• 正則な場の演算子のための指数関数に基づくオルリッチ空間と、状態のためのエントロピー型関数に基づくオルリッチ空間のペアを提案する。
• ミンコフスキー空間の局所代数における場の演算子の正則性条件を導入し、τ-可測性およびオステルワーラー＝シュライダー再構成と整合性を持つように保証する。
• 局所構造を保つように、ミンコフスキー空間の局所代数をグローバルに双曲的でローレンツ的多様体へ一般化した「接線に沿った条件付けられた代数」を定義する。
• ドゥ・ボア＝ヴィオレットの非可換微分幾何学のアプローチを適用し、これらの代数上での微分形式の階数付き代数を構成する。
• 非有界微分作用素 $\delta_k$ を含む、$\mathfrak{M}^\infty(\mathbb{M})$ の滑らかさを有する部分代数を用い、これらは全代数 $\mathfrak{M}(\mathbb{M})$ 上では定義されない。
• コンネスおよびジマの純粋代数的構成（例：）を活用し、位相的仮定に依存せずに微分構造が適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子統計力学で既に用いられているオルリッチ空間形式が、相対論的量子場理論へ効果的に拡張可能か。
• RQ2 オステルワーラー＝シュライダー再構成により得られる場の演算子が、非可換積分枠組みにおいて良好に振る舞うように、正則性条件をどのように定式化できるか。
• RQ3 ミンコフスキー時空を超えた局所代数上での非可換微分幾何学を、どの程度まで発展させられるか。
• RQ4 グローバルに双曲的でローレンツ的多様体上の接線に沿った条件付けられた代数が、QFTにおける積分的および微分的構造の両方をどのように支えるか。
• RQ5 局所代数上のポincare群作用を用いて、非可換設定下で一貫性のある階数付き微分形式代数を構築できるか。

主な発見

• オステルワーラー＝シュライダー定理により再構成された場の演算子が、提案されたオルリッチ空間形式において正則であることが示され、導入された正則性条件を満たしている。
• 指数関数およびエントロピー型関数に基づくオルリッチ空間の使用は、正則な場の演算子とそれに対応する量子状態を記述する自然かつ洗練された枠組みを提供する。
• 接線に沿った条件付けられた代数は、ミンコフスキー空間の局所代数をより広い時空幾何に一般化しつつ、オルリッチ形式の要件を満たす局所構造を保持する。
• 滑らかな量子階数付き微分形式代数が $\mathfrak{M}^\infty(\mathbb{M})$ 上に構成され、非可換微分幾何学を用いて力学的記述が可能になる。
• 微分形式の構成は純粋に代数的であり、コンネスおよびジマの代数的性質に依存しており、位相的仮定に依存しない。
• この枠組みは静的（積分的）および動的（微分的）なQFTの側面を効果的に統合し、微分構造により一般のローレンツ的背景上での運動方程式の記述が可能になる。