[論文レビュー] Integral and isocapacitary inequalities

Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、調和的容量を含む鋭い積分不等式を確立し、第一のディリクレ＝ラプラス固有値のファーベル＝クラーン性質を示す。領域が球に対して星型であっても、等capacitaire定数と等周数は同値でないことが示され、差分半ノルムと勾配ノルムの不等式の必要十分条件が、新しいタイプの等周および等capacitaire不等式を用いて確立される。

ABSTRACT

It is shown by a counterexample that isocapacitary and isoperimetric constants of a multi-dimensional Euclidean domain starshaped with respect to a ball are not equivalent. Sharp integral inequalities involving the harmonic capacity which imply Faber-Krahn property of the fundamental Dirichlet-Laplace eigenvalue are obtained. Necessary and sufficient conditions ensuring integral inequalities between a difference seminorm and the $L_p$-norm of the gradient are found.

研究の動機と目的

• 多変数ユークリッド領域における等capacitaire定数と等周数の同値性を調査すること。
• 第一のディリクレ＝ラプラス固有値のファーベル＝クラーン性質を示す調和的容量を含む鋭い積分不等式を導出すること。
• 差分半ノルムと勾配の$L_p$ノルムの間の不等式の必要十分条件を確立すること。
• 積空間上の測度を含む一般化されたポincare型不等式の有効性を、等周および等capacitaire条件を用いて特徴付けること。

提案手法

• 球に対して星型である領域でさえも、等capacitaire定数と等周数が同値でないことを示す反例を構成する。
• 相対的調和的容量$\mathrm{cap}(F;\Omega)$と$L_2$-レイリー商を用いて、第一のディリクレ固有値$\Lambda(\Omega)$の両側推定を導出する。
• $H_{n-1}(\partial g)/m_n(g)$を用いて定義される等周数$\gamma(\Omega)$を適用し、$\gamma(\Omega)^2 \leq 4\Gamma(\Omega)$を示す。ここで$\Gamma(\Omega)$は等capacitaire定数である。
• 新しい等周および等capacitaire不等式を用いて、不等式$\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$の必要十分条件を導出する。
• 1次元の場合には、測度$\nu''$と条件$\mu( [\alpha,\beta], \mathbb{R}\setminus(\alpha-r,\beta+r) ) \leq \text{const} \cdot r^{-q(1-p)/p}$を含む基準を提供する。
• 容量に基づく特徴付け$\mathrm{cap}_{p,\mu}(F;\Omega) = \inf \{ \langle u \rangle_{p,\mu}^p : u \geq 1 \text{ on } F \} $を用いて、トレース型不等式の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球に対して星型である領域について、等capacitaire定数と等周数は同値か？
• RQ2 不等式$\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ3 一般の$\mu$について、一般の等capacitaire条件$\sup_F \frac{\nu(F)^{p/q}}{\mathrm{cap}_{p,\mu}(F;\Omega)} < \infty$は、球のみを含む条件に置き換え可能か？
• RQ4 トレース不等式$\int_{\mathbb{R}^n} |u|^p \nu(dx) \leq c \|(-\Delta)^{\alpha/2}u\|_{L_p}^p$の鋭い条件は何か？
• RQ5 トレース不等式の基準(i)–(iii)は、$\mu$が$|x-y|^{-n-p\alpha}dx\,dy$である一般化された差分半ノルム不等式とどのように関係するか？

主な発見

• 等capacitaire定数と等周数は、球に対して星型である領域に対しても同値でないことが、反例によって示された。
• 不等式$\left(\int_\Omega\int_\Omega |u(x)-u(y)|^q \mu(dx,dy)\right)^{1/q} \leq C \|\nabla u\|_{L_p(\Omega)}$が成り立つのは、$q \geq p = 1$の場合は新しいタイプの等周不等式、$q > p > 1$の場合は新しいタイプの等capacitaire不等式が満たされる場合に限る。
• $u \in C_0^\infty(\mathbb{R})$に対して、不等式は$\mu( [\alpha,\beta], \mathbb{R}\setminus(\alpha-r,\beta+r) ) \leq \text{const} \cdot r^{-q(1-p)/p}$が$\alpha, \beta, r$に関して一様に成り立つ場合に成り立つ。
• $K < \infty$（ここで$K = \int_0^\infty s^{p-1} |\nu'(s)| ds$）であることは、不等式$\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} |u(t)-u(\tau)|^p \nu''(t-\tau) dt d\tau \leq C \int_\mathbb{R} |u'(t)|^p dt$に対して鋭い条件である。
• $\mu(dx,dy) = |x-y|^{-n-p\alpha} dx dy$（$0 < \alpha < 1$、$\alpha p < n$）に対して、不等式(81)が成り立つのは、$\sup_{x,\rho} \frac{\nu(B(x,\rho))^{p/q}}{\rho^{n-p\alpha}} < \infty$である場合に限る。
• この$\mu$の下で、トレース不等式$\int_{\mathbb{R}^n} |u|^p \nu(dx) \leq c \|(-\Delta)^{\alpha/2}u\|_{L_p}^p$は(81)と同値であり、(i)–(iii)の基準（dyadic立方体、リース作用素、弱型推定）によって特徴付けられる。