[論文レビュー] Integral cohomology groups of real toric manifolds and small covers

Li Cai, Suyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

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ひとこと要約

本稿では、純粋にシェーリング可能な単体的複体 $K$ のシェーリングから導かれる PL 1次元セル分割を用いて、実トーリック多様体およびスモールカバーの整数係数コホモロジー群を計算する。細胞コチェイン複体を分析し、明示的にボクシュタインスペクトル系列を計算することで、$H^*(Y;\mathbb{Z})$ の加法的構造が特定され、特定の例ではそれぞれ次数 0 から 3 において $\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$、$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$、$\mathbb{Z}_2$ が得られる。

ABSTRACT

For a simplicial complex $K$ with $m$ vertices, there is a canonical $\mathbb Z_2^m$-space known as a real moment angle complex $\mathbb R \mathcal Z_K$. In this paper, we consider the quotient spaces $Y=\mathbb R \mathcal Z_K / \mathbb Z_2^{k}$, where $K$ is a pure shellable complex and $\mathbb Z_2^k \subset \mathbb Z_2^m$ is a maximal free action on $\mathbb R \mathcal Z_K$. A typical example of such spaces is a small cover, where a small cover is known as a topological analog of a real toric manifold. We compute the integral cohomology group of $Y$ by using the PL cell decomposition obtained from a shelling of $K$. In addition, we compute the Bockstein spectral sequence of $Y$ explicitly.

研究の動機と目的

• スモールカバーおよび実トーリック多様体の整数係数コホモロジー群を計算すること。これらは複素トーリック多様体の位相的類似物である。
• 特に $k > 1$ の $2^k$- torsion を含む実トーリック多様体の整数係数コホモロジー環の完全な記述の欠如に応えること。
• 整数係数でのコホモロジーを計算するための体系的な手法を提供すること。これには PL セル分割とシェーリングを用いる。
• このような空間におけるボクシュタインスペクトル系列を明示的に計算し、$\mathbb{Z}_2$-コホモロジーから整数係数コホモロジーを回復すること。
• 部分複体 $K_\omega$ における単体的コチェインと商空間 $Y$ における細胞コチェインとの間の関係を確立すること。

提案手法

• 商空間 $Y = \mathbb{R}\mathcal{Z}_K / \mathbb{Z}_2^k$ の PL セル分割を用いる。ここで $\mathbb{R}\mathcal{Z}_K$ は実モーメント角度複体であり、$\mathbb{Z}_2^k$ は自由に作用する。
• 純粋にシェーリング可能な単体的複体 $K$ のシェーリングを用いて、部分複体の正則な拡大列を構成し、臨界単体を定義する。
• 転送写像を用いて $Y$ の向き付けられた細胞チェイン複体を構成し、双対化してコチェイン複体を得る。
• $\rho$ と呼ばれる単体的リトラクション写像を用いて、臨界セル上の細胞コバウンダリー $\overline{d}'$ を計算し、これとボクシュタイン同態 $Sq^1$ を関連付ける。
• ボクシュタインスペクトル系列を適用し、$E_2$-頁が $H^*(Y; \mathbb{Z}_2)$ に同型であり、$Sq^1$ の作用により微分を明示的に計算する。
• 普遍係数定理に依拠して $\mathbb{Z}_2$-コホモロジーの結果を整数係数コホモロジーに持ち上げ、ねじれ成分を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な $2^k$- torsion（$k > 1$）を含む場合に、スモールカバーおよび実トーリック多様体の整数係数コホモロジー群をどのように計算できるか。
• RQ2 商空間 $Y = \mathbb{R}\mathcal{Z}_K / \mathbb{Z}_2^k$ の細胞コチェイン複体と部分複体 $K_\omega$ の単体的コホモロジーとの関係は何か。
• RQ3 このような空間に対してボクシュタインスペクトル系列を明示的に計算し、$\mathbb{Z}_2$-コホモロジーから整数係数コホモロジーを回復できるか。
• RQ4 複体 $K$ のシェーリングが、$Y$ の細胞分割をどのように誘導し、コホモロジー計算を可能にするか。
• RQ5 シェーリング可能な複体 $K$ に付随するスモールカバーについて、$H^*(Y; \mathbb{Z})$ の加法的構造は何か。

主な発見

• $Y$ の整数係数コホモロジーはボクシュタインスペクトル系列により計算され、$E_2$-頁が $H^*(Y; \mathbb{Z}_2)$ に同型であり、微分は $Sq^1$ によって決定される。
• 7 個の頂点を持つ単体的 3-多面体の境界である $K$ と特性関数 $\lambda$ を持つ特定の例について、整数係数コホモロジーは $H^0(Y;\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$、$H^1(Y;\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$、$H^2(Y;\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$、$H^3(Y;\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2$ である。
• 例ではボクシュタインスペクトル系列が $E_2$-頁で収束し、$H^2(Y;\mathbb{Z})$ の $\mathbb{Z}_2$-ねじれは $\mathbb{Z}_2$-コチェイン上の $Sq^1$ の像から生じる。
• 臨界セル上の細胞コバウンダリー $\overline{d}'$ は、縮小された部分複体 $K_\omega$ における単体的コバウンダリーに対応し、明示的な計算を可能にする。
• 本手法は、非特異性条件を満たす $\mathbb{Z}_2$-特性関数を持つ純粋にシェーリング可能な単体的複体 $K$ から得られる任意のスモールカバーまたは実トーリック多様体に適用可能である。
• $K$ が純粋でなくても、Björner と Wachs の意味でシェーリング可能であれば、コホモロジー計算は有効であるが、本稿では PL 多様体構造を得るため、純粋にシェーリング可能な複体に焦点を当てる。