[論文レビュー] Integral criteria for Strong Renewal Theorems with infinite mean

Zhiyi Chi|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限平均を伴う安定分布の領域到達における強再生定理（SRT）の積分的条件を確立する。重み付き積分を用いた洗練された確率的アプローチを用い、関数 $\omega(x) = xF(x+I)/\overline{F}(x)$ の積分を基盤とする。先行研究に比べて著しく弱い十分条件を提示し、$\alpha \in (1/2,1)$ と $\alpha \in (0,1/2]$ の両者を統一的に取り扱い、一部の状況では必要十分条件を特定する。

ABSTRACT

Let $F$ be a probability measure on $\mathbb{R}$ in the domain of attraction of a stable law with exponent $α\in (0, 1)$. We establish integral criteria on $F$ that significantly expand the probabilistic approach to Strong Renewal Theorems (SRTs). The criterion for $α\in (0,1/2]$ is much weaker than currently available ones and in some cases provides sufficient and necessary conditions for the SRT. The criterion for $α\in (1/2, 1)$ establishes the SRT in full generality and in a unified way, barring the Limit Local Theorems employed. As an application, for infinitely divisible $F$, an integral criterion on its Lévy measure is established for the SRT. As another application, for $F$ in the domain of attraction of a stable law without centering, an integral criterion on $F$ is established for the SRT for the ladder height process of a random walk with step distribution $F$.

研究の動機と目的

• 指数 $\alpha \in (0,1)$ の安定分布の領域到達に属する無限平均を伴う分布に対する強再生定理（SRT）の確率的アプローチを拡張すること。
• SRTを保証するための $F$ の尾挙動に関する既存の積分的条件を弱める、特に $\alpha \in (0,1/2]$ の場合に有効であるようにすること。
• $\alpha \in (1/2,1)$ と $\alpha \in (0,1/2]$ の両者を統一的に取り扱うために、$\omega(x)$ を根拠とする新しい積分的基準を導入すること。
• 無限可除分布のLévy測度およびランダムウォークの上昇高過程のステップ分布 $F$ に対するSRTの基準を確立すること。

提案手法

• $\eta \in (0,1)$ に対して、$K_{\eta}(x,T) = \int_{(1-\eta)x}^{x} [\omega(y) - T]^+ dy$ を導入し、既存の基準を一般化する。
• 定理2.1を用いて再生測度の「小$n$」寄与項に対するきめ細やかな境界を確立し、再生過程の尾挙動を制御する。
• $\omega(x) = xF(x+I)/\overline{F}(x)$ を尾挙動および大偏差の制御変数として用いる。
• ポターや正則変動理論を用いて、$V(T(x)) = b(x)V(x)$ を満たす $T(x)$ の漸近的挙動を分析する。ここで $V \in \mathcal{R}_{\alpha+\beta}$ である。
• 局所的大偏差推定とリーマン和近似を用いて、大きな増分を持つ経路の寄与を制御する。
• 局所中心極限定理および新しい積分的基準を活用し、$U(x+I)$ の分解を介して小$n$ と大$n$ の寄与項の境界を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数 $\alpha \in (0,1/2]$ かつ平均が無限大であるとき、$F$ にどのような積分的条件を課すと強再生定理（SRT）が成立するか？
• RQ2 $\omega(x)$ の一様有界性よりも弱い条件を用いて、SRTに対する確率的アプローチを $\alpha \in (0,1/2]$ に拡張可能か？
• RQ3 同時に $\alpha \in (1/2,1)$ と $\alpha \in (0,1/2]$ に適用可能な統一的な積分的基準は存在するか？
• RQ4 無限可除分布のLévy測度にどのような積分的条件を課すとSRTが成立するか？
• RQ5 指数 $\alpha \in (0,1)$ の安定分布の領域到達に属するステップ分布 $F$ を持つランダムウォークの上昇高過程に対し、SRTを確立できるか？

主な発見

• 指数 $\alpha \in (0,1/2]$ の場合、本稿は先行研究に比べて著しく弱い積分的条件を提示し、一部の状況ではSRTの必要十分条件であることが示された。
• $\alpha \in (1/2,1)$ の場合、新しい基準によりSRTが完全に一般化され、統一的に成立することが示された（局所中心極限定理の使用を除く）。
• $K_1(x,T)$ の基準に比べ、$\eta < 1$ の $K_\eta(x,T)$ を用いた積分的基準は厳密に弱く、より広範な適用可能性を有する。
• 無限可除分布 $F$ に対して、そのLévy測度に関する積分的条件が導出され、このクラスへの定理の適用範囲が拡張された。
• 中心化なしの安定分布の領域到達に属する $F$ に対して、上昇高過程のSRTを保証する $F$ に関する積分的基準が確立された。
• 本稿では、$\delta \to 0$ のとき $R_{T,\eta,r,c_1,c_2}(x,\delta) = o(1)$ であることを示し、これは「小$n$」寄与項の消滅を意味し、新しい基準下でのSRTの証明における重要なステップである。