[論文レビュー] Integral equienergetic non-isospectral Cayley graphs

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Graph theory and applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、任意のアーベル群 $G$ および対称的部分集合 $S$ に対して、Cayleyグラフ $X(G,S)$ 及びその補グラフ $X^+(G,S)$ が等エネルギー的であることを証明している。さらに、やや緩い条件下で、これらのグラフが非同型スペクトル的、整数的、連結的、非二部グラフであることも示している。また、ユニタリCayleyグラフ $G_R$、一般化ペイリー・グラフ $Γ(k,q)$ 及びその補グラフを含む、等エネルギー的だが非同型スペクトル的な三重組の族を同定している。特に、すべてのグラフがラマヌジャン的である場合も含む。

ABSTRACT

We prove that the Cayley graphs $X(G,S)$ and $X^+(G,S)$ are equienergetic for any abelian group $G$ and any symmetric subset $S$. We focus on two subfamilies: unitary Cayley graphs $G_R=X(R,R^*)$, where $R$ is a commutative ring, and semiprimitive generalized Paley graphs $\Gamma(k,q) = X(\mathbb{F}_q,\{ x^k : x^k \in \mathbb{F}_q^*\})$. We prove that under mild conditions, $\{ G_R, G_R^+ \}$ and $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q)\}$ are pairs of equienergetic non-isospectral graphs (generically integral, connected and non-bipartite). Then, we obtain conditions such that $\{G_R, \bar G_R\}$ and $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ are equienergetic non-isospectral graphs. Finally, we characterize all (integral) equienergetic non-isospectral triples $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ and $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ such that all the graphs are also Ramanujan.

研究の動機と目的

• アーベル群 $G$ と対称的部分集合 $S$ に対して、Cayleyグラフ $X(G,S)$ 及びその補グラフ $X^+(G,S)$ の等エネルギー的性質を確立すること。
• これらの等エネルギー的グラフが非同型スペクトル的、整数的、連結的、非二部的である条件を特定すること。
• ユニタリCayleyグラフ $G_R$ 及び半原始的一般化ペイリー・グラフ $\Gamma(k,q)$ に分析を拡張し、等エネルギー的で非同型スペクトル的なペアを証明すること。
• $\{G_R, \bar G_R\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ が等エネルギー的で非同型スペクトル的なペアをなす条件を特定すること。
• $G_R$, $G_R^+$, $\bar G_R$ 及び $\Gamma(k,q)$, $\Gamma^+(k,q)$, $\bar \Gamma(k,q)$ を含む、すべての整数的で等エネルギー的かつ非同型スペクトル的な三重組を完全に同定すること。

提案手法

• アーベル群 $G$ 及び対称的部分集合 $S$ に対して、Cayleyグラフ $X(G,S)$ 及びその補グラフ $X^+(G,S)$ を群論的構成により定義すること。
• スペクトルグラフ理論を用いてエネルギーおよび固有値を比較し、トレースおよび固有値の和の恒等式を用いて等エネルギー的性質を確立すること。
• 可換環 $R$ 上のユニタリCayleyグラフ $G_R = X(R, R^*)$ 及び一般化ペイリー・グラフ $\Gamma(k,q) = X(\mathbb{F}_q, \{x^k : x^k \in \mathbb{F}_q^*\})$ に焦点を当てる。
• $R$ 及び $q,k$ に対して、$G_R$ と $G_R^+$、または $\Gamma(k,q)$ と $\Gamma^+(k,q)$ が非同型スペクトル的だが等エネルギー的であるような条件を導出すること。
• 数論的および環論的性質を用いて、グラフの整数的性質およびラマヌジャン性を分析すること。
• $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ の三重組を体系的に同定し、すべてのグラフが整数的、等エネルギー的、非同型スペクトル的、かつラマヌジャン的であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル群 $G$ 及び対称的部分集合 $S$ に対して、Cayleyグラフ $X(G,S)$ 及び $X^+(G,S)$ が等エネルギー的となる条件は何か？
• RQ2 等エネルギー的ペア $\{G_R, G_R^+\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q)\}$ が非同型スペクトル的、整数的、連結的、非二部的であるのはいつか？
• RQ3 $\{G_R, \bar G_R\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ が等エネルギー的で非同型スペクトル的なグラフペアをなす条件は何か？
• RQ4 $G_R$, $G_R^+$, $\bar G_R$ 及び $\Gamma(k,q)$, $\Gamma^+(k,q)$, $\bar \Gamma(k,q)$ の族に属する整数的グラフの中で、同時にラマヌジャン的であるものはどれか？
• RQ5 整数的で等エネルギー的かつ非同型スペクトル的な三重組 $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ を完全に同定できるか？

主な発見

• 任意のアーベル群 $G$ 及び対称的部分集合 $S$ に対して、Cayleyグラフ $X(G,S)$ 及び $X^+(G,S)$ は等エネルギー的である。
• 可換環 $R$ に対してやや緩い条件が満たされれば、ユニタリCayleyグラフ $G_R = X(R, R^*)$ 及びその補グラフ $G_R^+$ は等エネルギー的で非同型スペクトル的なペアをなす。
• 半原始的で一般化されたペイリー・グラフ $\Gamma(k,q)$ 及びその補グラフ $\Gamma^+(k,q)$ は、$k$ と $q$ が特定の数論的制約を満たすとき、等エネルギー的かつ非同型スペクトル的である。
• $\{G_R, \bar G_R\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ は、$R$ 及び $q,k$ に対して適切な条件下で等エネルギー的かつ非同型スペクトル的である。
• すべての整数的で等エネルギー的かつ非同型スペクトル的な三重組 $\{G_R, G_R^+, \bar G_R\}$ 及び $\{\Gamma(k,q), \Gamma^+(k,q), \bar \Gamma(k,q)\}$ は完全に同定されており、さらに三重組に属するすべてのグラフがラマヌジャン的であるという追加的性質を有する。