[論文レビュー] Integral formulas for a metric-affine manifold with two complementary orthogonal distributions

Vladimir Rovenski|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2つの補い合う直交する分布を備えた計量接続多様体に対して、捩れおよび非メトリック接続を含むリーマン幾何の結果を一般化した積分公式を導出する。主な貢献は、混合スカラー曲率および平均曲率不変量に関連する条件下で、多様体が等長的に分解されること—すなわち、回路、部分多様体、およびねじれ積の幾何的障害をもたらす—ことである。

ABSTRACT

We obtain integral formulas for a metric-affine space equipped with two complementary orthogonal distributions. The integrand depends on the Ricci and mixed scalar curvatures and invariants of the second fundamental forms and integrability tensors of the distributions. The formulas under some conditions yield splitting of manifolds (including submersions and twisted products) and provide geometrical obstructions for existence of distributions and foliations (or compact leaves of them).

研究の動機と目的

• リーマン幾何における積分公式を、捩れおよび非メトリック接続を含む計量接続多様体へと拡張すること。
• このような多様体における分布、回路、またはコンパクトな葉の存在のための幾何的障害を導出すること。
• 計量接続多様体が等長的に分解する条件を確立すること—部分多様体やねじれ積としての分解を含む。
• 計量接続設定における、無限接続的、調和的、および完全測地的分布に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 2つの補い合う直交する分布を備えた計量接続空間における平均曲率ベクトル場 ξ = H^⊥ + H^⊤ の発散公式を導出する。
• コンツォリオンテンソルおよびその双対を用いて、曲率不変量（混合スカラー曲率 S_mix およびリッチ曲率を含む）を表現する。
• 発散定理および ∥ξ∥_g の L¹ 積分可能性を適用し、曲率および第二基本形式の項が消えることを示す。
• de Rham の分解定理に依拠し、曲率および平均曲率の項が消える場合に多様体が分解することを結論づける。
• 2つの主要なケースを検討する：(1) T^⊤, T^⊥, H^⊤, H^⊥ がすべて消える場合、(2) 双ねじれ積のような繊維構造の場合。
• ∫_M div ξ dvol = 0 が S_mix = 0 および H^⊤ = H^⊥ = 0 を意味する条件を確立し、直接積構造に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの補い合う直交する分布を備えた計量接続多様体が積多様体に分解するための、曲率および平均曲率に関する条件は何か？
• RQ2 捩れおよび非メトリック接続は、リーマン・レヴィ・チビタの場合と比較して、分布および回路のための積分公式にどのように影響を与えるか？
• RQ3 計量接続多様体上の回路におけるコンパクトな葉の存在に伴う幾何的障害は何か？
• RQ4 計量接続設定において、多様体がねじれ積として分解されうるかどうかは、曲率不変量の積分により妨げられたり、強制されたりするか？
• RQ5 平均曲率ベクトルの L¹ 積分可能性は、グローバルな分解定理を導く際に果たす役割は何か？

主な発見

• 混合スカラー曲率 S_mix ≤ 0 であり、平均曲率ベクトル ξ = H^⊤ + H^⊥ が L¹ 積分可能であるならば、多様体は等長的に分解する。
• ξ の発散が消えることは、可積分性テンソル T^⊤ および T^⊥、および平均曲率ベクトル H^⊤ および H^⊥ がすべて消えることを意味する。
• 二重ねじれ積 B×_(v,u)F において、S_mix ≤ 0 かつ ∥ξ∥_g ∈ L¹ であるならば、重み関数 u および v は定数でなければならない。これは直接積を意味する。
• 完全な開または閉じた計量接続多様体において、無限接続的、調和的、および捩れなしの分布を備える場合、S_mix ≤ 0 かつ平均曲率条件を満たすならば、多様体は分解する。
• これらの結果は、統計的およびリーマン＝カルタン多様体を含む、古典的なリーマン幾何における分割定理を計量接続幾何へと一般化する。
• 導出された積分公式は強力な障害を提供する：S_mix < 0 ならば、そのような無限接続的または調和的分布はグローバルには存在できない。