[論文レビュー] Integral formulas for a Riemannian manifold with several orthogonal complementary distributions

Vladimir Rovenski|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの直交する分布を持つリーマン多様体における積分的曲率公式を、$k > 2$ 個の直交的かつ補完的分布を持つ場合に一般化する。混合スカラー曲率、第二基本形式、平均曲率ベクトル、可積分性テンソルを含む発散公式を導出し、閉多様体上で消失する新しい積分的恒等式を確立する。これは既知の $k=2$ の場合を拡張し、分割定理、等長埋め込み、定数多重度をもつ主曲率の hypersurfaces への応用を可能にする。

ABSTRACT

In the paper we prove integral formulae for a Riemannian manifold endowed with $k>2$ orthogonal complementary distributions, which generalize well-known formula for $k=2$ and give applications to splitting and isometric immersions of Riemannian manifolds, in particular, multiply warped products, and to hypersurfaces with $k>2$ distinct principal curvatures of constant multiplicities.

研究の動機と目的

• 2つの直交する分布を持つリーマン多様体における既知の積分公式を、$k > 2$ 個の直交的かつ補完的分布を持つ場合に拡張すること。
• 混合スカラー曲率、第二基本形式、平均曲率ベクトル、分布の可積分性テンソルを含む発散公式を導出すること。
• 新しい公式をリーマン幾何学のグローバル問題、特に分割定理、等長埋め込み、$k>2$ 個の異なる主曲率をもち、定数多重度をもつ hypersurfaces に応用すること。
• 閉多様体上で消失する積分的恒等式を確立し、$k=2$ の場合を一般化し、曲率に基づく分類を可能にする。

提案手法

• 混合スカラー曲率 $\mathrm{S}_{\mathrm{mix}}$ を、異なる分布からのベクトルで張られる平面の断面曲率の和として定義する。
• $\mathcal{D}_i$ の各分布に対して、第二基本形式 $h_i$、平均曲率ベクトル $H_i$、可積分性テンソル $T_i$ を導入する。
• 平均曲率ベクトルの和 $\sum_i H_i + \sum_{i<j} H_{ij}$ の発散公式を導出し、これは混合スカラー曲率に加え、$h_i$、$H_i$、$T_i$ の二次項を含む。
• ストークスの定理を発散式に適用し、閉多様体上で積分が消失することを示す。
• 一般公式を、$k=3$ 個の異なる主曲率をもち、定数多重度をもつ空間形 $\bar{M}(c)$ 内の hypersurfaces への場合に特化する。
• 分布に適合する正規直交標構を用い、主曲率関数 $\mu_i$ の勾配を用いて $h_i$、$H_i$、$T_i$ のノルムを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体における2つの直交する分布に対する積分公式を、$k > 2$ 個の直交的かつ補完的分布へ一般化できるか？
• RQ2 $k$-積構造におけるすべての分布およびそれらの対ごとの和の平均曲率ベクトルの和の発散は何か？
• RQ3 $k>2$ の場合に、混合スカラー曲率は第二基本形式、平均曲率、可積分性テンソルとどのように関係するか？
• RQ4 閉多様体上で発散式の積分が消失することから、どのようなグローバル幾何的帰結が得られるか？
• RQ5 $k>2$ 個の異なる主曲率をもち、定数多重度をもつ hypersurfaces に対して、この公式の意味は何か？

主な発見

• 平均曲率ベクトルの和 $\sum_i H_i + \sum_{i<j} H_{ij}$ の発散は、混合スカラー曲率 $\mathrm{S}_{\mathrm{mix}}$ に加え、$h_i$、$H_i$、$T_i$ の二次項を含み、閉多様体上で積分が消失する。
• $k=3$ の分布をもつ空間形 $\bar{M}(c)$ 内の閉 hypersurface に対して、$\sum_{i<j} n_i n_j (c + \mu_i \mu_j) + 2\sum_i n_i(1-n_i)\left(\frac{\|P_j \nabla \mu_i\|^2}{(\mu_i - \mu_j)^2} + \frac{\|P_l \nabla \mu_i\|^2}{(\mu_i - \mu_l)^2}\right)$ の積分は消失する。
• 公式は $k=2$ の場合を一般化しており、同じ構造を $k>2$ 個の分布および対間の相互作用へ拡張している。
• 消失積分は強いグローバル制約を意味する：被積分関数が正定値であれば、そのような多様体は閉にはなり得ない。これは、特定のファイブレーションや埋め込みの非存在を示唆する。
• 3つの異なる主曲率をもち、定数多重度をもつ hypersurface の場合、公式は主曲率関数の勾配を含む曲率幾何的恒等式を導く。
• $\sum_{i<j} (\|h_{ij}|_{V_{ij}}\|^2 - \|T_{ij}|_{V_{ij}}\|^2)$ の和は、3つの対について対称的なキャンセルが生じるため消失し、全体の式が簡略化される。