[論文レビュー] Integral operators, embedding theorems and a Littlewood-Paley formula on weighted Fock spaces

Olivia Constantin, José Ángel Peláez|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、急速に減少する径方向重みを伴う重み付きフォック空間に対して、Littlewood-Paley公式を確立し、これらの空間上の有界およびコンパクトな積分作用素 $T_g$ を特徴づけ、Carleson測度およびシュレーディンガークラス作用素の完全な記述を提供する。主な貢献は、$T_g$ が有界またはコンパクトであるような記号 $g$ の鋭い特徴づけであり、古典的結果をより広いクラスのフォック空間、特に三重指数型の重みを含む、より速く減少する重みへと拡張する。

ABSTRACT

We obtain a complete characterization of the entire functions $g$ such that the integral operator $(T_ g f)(z)=\int_{0}^{z}f(ζ)\,g'(ζ)\,dζ$ is bounded or compact, on a large class of Fock spaces $\mathcal{F}^ϕ_p$, induced by smooth radial weights that decay faster than the classical Gaussian one. In some respects, these spaces turn out to be significantly different than the classical Fock spaces. Descriptions of Schatten class integral operators are also provided. En route, we prove a Littlewood-Paley formula for $||\cdot||_{\mathcal{F}^ϕ_p}$ and we characterize the positive Borel measures for which $\mathcal{F}^ϕ_p\subset L^q(μ)$, $0

研究の動機と目的

• フォック空間上の積分作用素理論を、古典的なガウス型のケースを超えて、急速に減少する重みへと拡張すること。
• 重み $\phi$ に対して一般な条件下で $\mathcal{F}^\phi_p$ 空間におけるLittlewood-Paley公式を確立すること。
• 正のボレル測度 $\mu$ に対して、埋め込み $\mathcal{F}^\phi_p \subset L^q(\mu)$ が有界またはコンパクトであるための必要十分条件を特徴づけること。
• これらの空間上での積分作用素 $T_g$ のシュレーディンガークラスの性質を記述すること。
• 古典的ボルテラ作用素の下での $\mathcal{F}^\phi_p$ の不変部分空間を調査すること。

提案手法

• 再生核に依存しない、整関数およびその導関数の積分平均に関する推定を用いてLittlewood-Paley公式を導出する。
• 古典的状況における再生核の役割を果たす、$|z| \geq r_0$ に対して $\psi_{p,\phi}(z) \asymp 1/\phi'(z)$ とされる歪み関数 $\psi_{p,\phi}$ を導入する。
• 重み $\phi$ が $\tau(z) \asymp (\Delta\phi(|z|))^{-1/2}$ を満たし、かつ $\tau(r)r^C$ が増加するか、または $\tau'(r)\log(1/\tau(r)) \to 0$ となるような、急激に増加する重みのクラス $\mathcal{I}$ を定義する。
• 測度 $\mu$ に対するCarleson測度基準 $K_{\mu,\phi} = \sup_a \frac{1}{\tau(a)^{2q/p}} \int_{D(\delta\tau(a))} e^{q\phi(z)} d\mu(z) < \infty$ を用いて、埋め込み $\mathcal{F}^\phi_p \to L^q(\mu)$ の特徴づけを行う。
• 歪み関数および測度基準を用いて、$g'$ および $\phi'$ に関する条件を通じて、$T_g$ の有界性およびコンパクト性を特徴づける。
• $\phi \in \mathcal{I}$ のとき、$||f||^p_{\mathcal{F}^\phi_p} \asymp |f(0)|^p + \int_{\mathbb{C}} |f'(z)|^p \frac{e^{-p\phi(z)}}{(1 + \phi'(z))^p} dm(z)$ が成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの整関数 $g$ に対して、急速に減少する重みを伴う $\mathcal{F}^\phi_p$ 上で積分作用素 $T_g(f)(z) = \int_0^z f(\zeta)g'(\zeta) d\zeta$ が有界になるか？
• RQ2 $\phi$ がガウス型よりも速く減少するとき、$\mathcal{F}^\phi_p$ の正確なLittlewood-Paley公式は何か？
• RQ3 正のボレル測度 $\mu$ に対して、埋め込み $\mathcal{F}^\phi_p \subset L^q(\mu)$ が有界またはコンパクトであるための必要十分条件は何か？
• RQ4 どの記号 $g$ が $\mathcal{F}^\phi_p$ 上でシュレーディンガークラス作用素 $T_g$ を与えるか？
• RQ5 $\mathcal{F}^\phi_p$ のどの部分空間が、古典的ボルテラ作用素に関して不変か？

主な発見

• クラス $\mathcal{I}$ に属する $\phi$ に対して、$\mathcal{F}^\phi_p$ におけるLittlewood-Paley公式が成り立ち、$||f||^p_{\mathcal{F}^\phi_p} \asymp |f(0)|^p + \int_{\mathbb{C}} |f'(z)|^p \frac{e^{-p\phi(z)}}{(1 + \phi'(z))^p} dm(z)$ の形を取る。
• 埋め込み $\mathcal{F}^\phi_p \to L^q(\mu)$ が有界であるための必要十分条件は、$K_{\mu,\phi} < \infty$ である。ここで $K_{\mu,\phi} = \sup_a \frac{1}{\tau(a)^{2q/p}} \int_{D(\delta\tau(a))} e^{q\phi(z)} d\mu(z)$ である。
• 埋め込みがコンパクトであるための必要十分条件は、$\lim_{|a| \to \infty} \frac{1}{\tau(a)^{2q/p}} \int_{D(\delta\tau(a))} e^{q\phi(z)} d\mu(z) = 0$ である。
• $\phi \in \mathcal{I}$ のとき、歪み関数は $|z| \geq r_0$ で $\psi_{p,\phi}(z) \asymp 1/\phi'(z)$ を満たし、これが正確なノルム推定を可能にする。
• 有界性について、$T_g$ が $\mathcal{F}^\phi_p$ 上で有界であるための必要十分条件は、$g$ が次数が 2 以下の多項式であることである。これは古典的結果をより速く減少する重みへと拡張する。
• 本稿は、重みの許容範囲を三重指数型 $\omega(z) = \exp(-e^{e^{1/(1-|z|)}})$ のようなタイプを含むように拡張し、理論が依然として有効であることを示している。