[論文レビュー] Integral $p$-adic \'etale cohomology of Drinfeld symmetric spaces

Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、p進体上の任意次元のドリンフェルト対称空間の積分p進エタールコホモロジーを計算し、以前の有理数p進コホモロジーの結果を精緻化する。A_inf-コホモロジーと積分p進比較定理（特に導来Nakayama補題とA_inf-コホモロジーの近くのサイクルとの整合性）を用いて、コホモロジー群が一般化されたシュタイナーベルグ表現の双対と同型であり、明示的な位相的G × G_K-加群同型が得られることを示す。主な結果は、これらの表現を用いた積分コホモロジーの完全な記述であり、以前の結果を積分的設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We compute the integral $p$-adic \'etale cohomology of Drinfeld symmetric spaces of any dimension. This refines the computation of the rational $p$-adic \'etale cohomology from Colmez-Dospinescu-Nizio{\l}. The main tools are: the computation of the integral de Rham cohomology from CDN and the integral $p$-adic comparison theorems of Bhatt-Morrow-Scholze and \v{C}esnavi\v{c}ius-Koshikawa which replace the quasi-integral comparison theorem of Tsuji used in CDN.

研究の動機と目的

• ドリンフェルト対称空間の有理数p進エタールコホモロジー計算を積分的設定へと精緻化すること。
• すべての $ i \geq 0 $ および次元 $ d $ に対して、積分p進エタールコホモロジー群 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ を計算すること。
• これらのコホモロジー群と一般化されたシュタイナーベルグ表現 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ の双対との間の位相的 $ G \times G_K $-加群同型を確立すること。

提案手法

• ドリンフェルト対称空間 $ X = H^d_C $ のエタールサイト上に、フォンタインの $ A_{\inf} $-環と相対的プロエタールコホモロジーを用いて構成された A_inf-コホモロジー複体 $ A\Omega_X $ を用いる。
• バッチ＝モーロー＝シュォルツおよびチェスナヴィチウス＝コシカワの積分p進比較定理を適用し、$ A\Omega_X $ をde Rhamおよびエタールコホモロジーと関連付ける。
• 導来Nakayama補題を用いて、$ A_{\inf} $-コホモロジーにおける同型の証明問題を $ \tilde{\xi} $ で割った剰余環上での確認に還元し、ホッジ＝トート特異化を用いる。
• エタールレジスターマップ $ r_{\text{ét}}: \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* \to H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) $ を構成し、これが $ A_{\inf} $-線形写像 $ r_{\inf} $ に $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ へと上昇できることを示す。
• p進近くのサイクルと $ A\Omega_X $-コホモロジーとの関係を示す完全系列を用いる：$ 0 \to H^{i-1}_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})/(1 - \phi^{-1}) \to H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) \to H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})^{\phi^{-1}=1} \to 0 $。
• レジスターとホッジ＝トート特異化の整合性およびde Rham複体のアセイクリック性を用いて、$ A_{\inf} $-コホモロジー群 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ が $ A_{\inf} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト対称空間の次元 $ d $ に対して、積分 $ p $-進エタールコホモロジー $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ の構造は何か？
• RQ2 積分 $ p $-進コホモロジーは、$ A_{\inf} $-コホモロジーおよび半安定モデルのde Rhamコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ3 導来Nakayama補題は、$ p $-進ホッジ理論における積分同型の証明に効果的に適用可能か？
• RQ4 $ A_{\inf} $-コホモロジー複体 $ A\Omega_X $ は、非準密な多様体の $ p $-進エタールコホモロジーを計算する際に果たす役割は何か？
• RQ5 コホモロジー群の $ \phi^{-1} $-不変性は、一般化されたシュタイナーベルグ表現の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 位相的 $ G \times G_K $-加群としての積分 $ p $-進エタールコホモロジー $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $ は、一般化されたシュタイナーベルグ表現 $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ の双対と同型である。
• $ A_{\inf} $-コホモロジー群 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ は $ A_{\inf} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ に同型であり、$ \phi^{-1} $-不変性を有する。
• $ A_{\inf} $-コホモロジーの $ \tilde{\xi} $ による剰余は、ホッジ＝トートコホモロジー $ H^0_{\text{ét}}(X, \Omega^i_X) $ に同型であり、この同型はレジスター写像と整合する。
• ターゲットコホモロジー群 $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\}) $ は $ \tilde{\xi} $- torsion-free であるため、導来完備化と剰余の両立が保証される。
• 近くのサイクル完全系列より、$ H^i_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_p(i)) $ は $ H^i_{\text{ét}}(X, A\Omega_X\{i\})^{\phi^{-1}=1} $ に同型であり、これは $ \mathrm{Sp}_i(\mathbb{Z}_p)^* $ に同型である。
• $ i > d $ の場合、すべてのコホモロジー群 $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Z}_p(i)) $、$ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{F}_p(i)) $、および $ H^i_{\text{ét}}(H^d_C, \mathbb{Q}_p(i)) $ は消えることが示され、高次の期待される消滅性が確認される。