[論文レビュー] Integral-Partial Differential Equations of Isaacs' Type Related to Stochastic Differential Games with Jumps

Rainer Buckdahn, Ying Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、経路に依存する制御が存在する零和確率的微分ゲームにおける動的計画法の原則を確立し、コスト関数が確率変数であるにもかかわらず、上値関数と下値関数が決定的であることを証明している。ジャンプを含むバックワード確率微分方程式（BSDE）とウィーナー・ポアソン空間上での新しい変換を用いて、これらの値関数がハミルトニアン・ジョブ・ベルヌーイ・アイザックス型の積分-偏微分方程式の唯一のバナッハ空間的解であることを示し、アイザックスの条件が成り立つ場合にはゲームの値が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper we study zero-sum two-player stochastic differential games with jumps with the help of theory of Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs). We generalize the results of Fleming and Souganidis [10] and those by Biswas [3] by considering a controlled stochastic system driven by a d-dimensional Brownian motion and a Poisson random measure and by associating nonlinear cost functionals defined by controlled BSDEs. Moreover, unlike the both papers cited above we allow the admissible control processes of both players to depend on all events occurring before the beginning of the game. This quite natural extension allows the players to take into account such earlier events, and it makes even easier to derive the dynamic programming principle. The price to pay is that the cost functionals become random variables and so also the upper and the lower value functions of the game are a priori random fields. The use of a new method allows to prove that, in fact, the upper and the lower value functions are deterministic. On the other hand, the application of BSDE methods [18] allows to prove a dynamic programming principle for the upper and the lower value functions in a very straight-forward way, as well as the fact that they are the unique viscosity solutions of the upper and the lower integral-partial differential equations of Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs' type, respectively. Finally, the existence of the value of the game is got in this more general setting if Isaacs' condition holds.

研究の動機と目的

• 確率的微分ゲームにジャンプと経路依存制御を含めるために、フレミングとソウガニディスの枠組みを拡張すること。
• 制御が過去全体に依存する場合にコスト関数が確率変数となるという課題に対処し、値関数が依然として決定的であることを証明すること。
• ジャンプを含む一般設定において、BSDE手法を用いて動的計画法の原則を確立すること。
• 上値関数と下値関数がアイザックス型の積分-偏微分方程式の唯一のバナッハ空間的解であることを示すこと。
• この拡張された枠組みにおいてアイザックスの条件が満たされる場合、ゲームの値が存在することを証明すること。

提案手法

• 非線形コスト関数をモデル化するため、ジャンプを含む二重制御付きバックワード確率微分方程式（BSDE）を導入する。
• 経路依存制御があるにもかかわらず値関数が決定的であることを証明するため、ウィーナー・ポアソン空間上での新しい変換を適用する。
• ペンが導入した確率的バックワード半群を用いて、動的計画法の原則の証明を簡略化する。
• 比較定理と近似技術（例：分割と停止時刻を用いたもの）を用いて、バナッハ空間的解の性質を扱う。
• 上値関数と下値関数をハミルトニアン・ジョブ・ベルヌーイ・アイザックス型の積分-偏微分方程式の解として導出する。
• 値関数の決定的性質を用いて、アイザックスの条件が満たされる場合にゲームの値が存在することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御が過去全体の軌道に依存する確率的微分ゲームにジャンプを含める場合、動的計画法の原則を確立できるか？
• RQ2 コスト関数が経路依存制御のため確率変数である場合でも、上値関数と下値関数は依然として決定的であるか？
• RQ3 ジャンプを含むBSDE手法を用いて、この拡張された枠組みで動的計画法の原則とバナッハ空間的解を導出できるか？
• RQ4 ウィーナー・ポアソン空間上での新しい変換をどのように構築すれば、ジャンプが存在する状況下でも値関数の決定的性質を保てるか？
• RQ5 この一般化された設定において、ジャンプを含む確率的微分ゲームの値が存在する条件は何か？

主な発見

• コスト関数が経路依存制御のため確率変数であるにもかかわらず、上値関数と下値関数は決定的である。
• ジャンプと経路依存制御を含む拡張された枠組みにおいて、上値関数と下値関数に対して動的計画法の原則が成立する。
• 上値関数と下値関数は、対応するハミルトニアン・ジョブ・ベルヌーイ・アイザックス型の積分-偏微分方程式の唯一のバナッハ空間的解である。
• アイザックスの条件が満たされる場合、上値関数と下値関数が一致するため、ゲームには値が存在する。
• BSDEにジャンプを含め、ウィーナー・ポアソン空間上での新しい変換を用いることで、動的計画法の原則とバナッハ空間的解の性質の証明が簡潔に可能になる。
• フレミングとソウガニディス、およびビスワスの先行研究を一般化し、ジャンプと経路依存制御を統一的かつ厳密な枠組みで統合した結果が得られた。