[論文レビュー] Integral representation for the eigenfunctions of quantum periodic Toda chain

S. Kharchev, D. V. Lebedev|ArXiv.org|Nov 1, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、Whittaker関数と留数計算を用いて、N粒子の量子周期的Toda鎖の固有関数の積分表現を構成する。Gutzwillerの解析的アプローチとSklyaninのR行列形式を組み合わせ、Whittaker関数のプランシュレル公式を活用することで、N=2,3,4の既知の結果を再現する閉形式の式を得る。この式により、Sklyaninのスカラー積測度がハリシ・チャンドラ関数と特定される。

ABSTRACT

Integral representation for the eigenfunctions of quantum periodic Toda chain is constructed for N-particle case. The multiple integral is calculated using the Cauchy residue formula. This gives the representation which reproduces the particular results obtained by Gutzwiller for N=2,3 and 4-particle chain. Our method to solve the problem combines the ideas of Gutzwiller and R-matrix approach of Sklyanin with the classical results in the theory of the Whittaker functions. In particular, we calculate Sklyanin's invariant scalar product from the Plancherel formula for the Whittaker functions derived by Semenov-Tian-Shansky thus obtaining the natural interpretation of the Sklyanin measure in terms of the Harish-Chandra function.

研究の動機と目的

• 量子周期的Toda鎖において、N=2,3,4のGutzwillerの結果を任意のNに一般化すること。
• Gutzwillerの解析的アプローチとSklyaninの代数的R行列形式を統合すること。
• Whittaker関数のプランシュレル公式を用いて、Sklyaninの不変スカラー積の自然な解釈を提供すること。
• Whittaker関数理論の文脈において、Sklyaninの測度とハリシ・チャンドラ関数との関係を確立すること。

提案手法

• 開いた(N−1)粒子Toda鎖の固有関数の構築に、Weyl不変Whittaker関数を基本構成要素として用いる。
• Semenov-Tian-Shanskyが導出したWhittaker関数のプランシュレル公式を応用し、スカラー積を計算する。
• 複数の閉路積分を用いて、周期的Toda鎖の固有関数の積分表現を構築する。
• コーシーの留数定理を適用し、γ変数の極の和として多重積分を評価する。
• 対角モノドロミー行列作用素の作用を用いて、補助関数の関数的関係を導出する。
• 対称性および符号因子を考慮した上で、留数の和として完全な固有関数を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gutzwillerの小規模Nに対する手法を、量子周期的Toda鎖において任意のNに一般化する方法は何か？
• RQ2 周期的Todaモデルの変数分離に用いられる補助関数の代数的起源は何か？
• RQ3 Sklyaninの不変スカラー積は、調和解析における既知の特殊関数とどのように関係しているか？
• RQ4 Whittaker関数のプランシュレル公式を用いて、Sklyanin形式における測度の不確実性を解消できるか？
• RQ5 Sklyaninの測度とハリシ・チャンドラ関数の正確な関係は何か？

主な発見

• N粒子量子周期的Toda鎖の固有関数は、Whittaker関数を含む多重積分の留数の和として表現される。
• 特殊化により、N=2,3,4の場合にGutzwillerの結果が再現される。
• 固有関数の正規化因子には、δパラメータの差の双曲正弦の積の逆数が含まれる。
• Sklyaninのスカラー積がWhittaker関数のプランシュレル測度と等価であり、その測度がハリシ・チャンドラ関数として特定されることを示した。
• 関数的行列式Δ(δ + iħn)は、留数和におけるバーデルモンド型の因子として現れ、適切な対称性を保証する。
• Whittaker関数の解析的構造から導かれる結果により、Sklyanin測度の不確実性が解消された。