[論文レビュー] Integral representations for convolutions of non-central multivariate gamma distributions

Thomas Royen|ArXiv.org|Apr 4, 2007

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素変数積分を用いて $(-\pi, \pi]^p$ 上で実行する p 次元積分を用いて、非中心多変量ガンマ分布の畳み込みの累積分布関数 (CDF) の3つの新しい積分表現を導出する。主な貢献は、特に正規乱数行列における一般化された2次形式の対角成分の同時分布に対して、級数展開やフーリエ／ラプラス逆変換よりも計算的に優れた $p$ 次元積分による CDF の数値的効率の良い計算である。

ABSTRACT

Three types of integral representations for the cumulative distribution functions of convolutions of non-central p-variate gamma distributions are given by integration of elementary complex functions over the p-cube Cp = (-pi,pi]x...x(-pi,pi]. In particular, the joint distribution of the diagonal elements of a generalized quadratic form XAX' with n independent normally distributed column vectors in X is obtained. For a single p-variate gamma distribution function (p-1)-variate integrals over Cp-1 are derived. The integrals are numerically more favourable than integrals obtained from the Fourier or laplace inversion formula.

研究の動機と目的

• 非中心多変量ガンマ分布の畳み込みの CDF の数値的に効率的な表現を開発すること。
• 非中心多変量ガンマ分布に対して、級数展開が計算的に不切実である問題を解決すること。
• 正規乱数行列における一般化された2次形式の CDF を計算するための、フーリエまたはラプラス逆変換の実用的代替案を提供すること。
• $(-\pi, \pi]^p$ 上の明示的な積分公式を導出し、既存の手法よりも数値評価に優れた性質を持つこと。

提案手法

• ラプラス変換を CDF の表現に変換するため、$p$ 次元立方体 $(-\pi, \pi]^p$ 上でのコーシー積分を用いた複素解析的手法を用いる。
• 定理1の一般的手法を適用し、生成関数の積を $ (2\pi)^{-p} \int_{\mathcal{C}_p} A(y) B(y^{-1}) \, d\varphi_1 \cdots d\varphi_p $ の形の積分に変換する。
• 解析接続と留数計算を用いて、$\Gamma_p(\alpha_k, \Sigma_k, \Delta_k)$ 分布に従う確率的ベクトルの CDF の積分表現を導出する。
• 各列が i.i.d. $N_p(\mu_k, \Sigma)$ 分布に従う $X$ に対して、$XAX^\top$ の対角成分の CDF の $p$ 次元積分を導出する。
• 単一の $\Gamma_p(\alpha, \Sigma, \Delta)$ の場合に、再帰的分解により積分の次元を $p-1$ 変数に削減する。
• 補題2および補題3を用いて、指数部における行列の行列式およびトレースを扱い、複雑な積分を扱いやすい形に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非中心多変量ガンマ分布の畳み込みの CDF は、$p$ 次元立方体 $(-\pi, \pi]^p$ 上での複素積分として表現可能か？
• RQ2 正規乱数行列 $X$ の各列が i.i.d. で、$A \geq 0$ のとき、一般化された2次形式 $XAX^\top$ の対角成分の同時分布は、多変量ガンマ CDF の形でどのように表現できるか？
• RQ3 これらの積分表現は、非中心多変量ガンマ分布に対して、級数展開やフーリエ／ラプラス逆変換よりも数値的に優れているか？
• RQ4 被積分関数の構造はどのようなものか？非整数 $\alpha$ の場合、積分はどのような条件下で収束するか？

主な発見

• 非中心多変量ガンマ分布の畳み込みの CDF について、$(-\pi, \pi]^p$ 上で積分する3つの異なるタイプの積分表現が導出された。
• 単一の $\Gamma_p(\alpha, \Sigma, \Delta)$ 分布の場合、$(-\pi, \pi]^{p-1}$ 上での $(p-1)$ 次元積分が導出され、計算複雑度が低減された。
• 級数展開よりも積分が数値的に優れていることが示された。特に、係数が複雑であったり収束が遅い場合に顕著である。
• $X$ の各列が i.i.d. 正規分布に従い、$A \geq 0$ のとき、$XAX^\top$ の対角成分の同時分布は、$q$ 個の独立な $\Gamma_p(\frac{1}{2}, \lambda_k\Sigma, \Delta_k)$ 分布に従うベクトルの和として表現された。
• 無限級数や特性関数の数値的逆変換に依存せずに、正確な CDF の計算が可能となった。
• 生成関数の変換と留数計算による手法の妥当性が検証され、導出された積分のラプラス変換の恒等式が明示的に確認された。