[論文レビュー] Integral representations for products of two parabolic cylinder functions with different arguments and orders

Dirk Veestraeten|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、任意の次数 ν, μ および非負の引数 x, y ≥ 0 に対して、2つの放物型ケーラー関数の積 Dν(x)Dμ(y) および Dν(−x)Dμ(y) の新しい積分表現を導出する。逆ラプラス変換の畳み込み定理を用いて、単一の放物型ケーラー関数の逆ラプラス変換の既知の表現に基づき、積をガウス超幾何関数および関連ルジャンドル関数を用いて表現する。これにより、補完誤差関数、第2種の変形ベッセル関数（次数 1/4）、および第1種の変形ベッセル関数（次数 1/4）と放物型ケーラー関数の積への特殊化が可能になる。

ABSTRACT

This paper derives new integral representations for products of two parabolic cylinder functions. In particular, expressions are obtained for D_{nu}(x)D_{mu}(y), with x>0 and y>0, that allow for different orders and arguments in the two parabolic cylinder functions. Also, two integral representations are obtained for D_{nu}(-x)D_{mu}(y) by employing the connection between the parabolic cylinder function and the Kummer confluent hypergeometric function. The integral representations are specialized for products of two complementary error functions and of two modified Bessel functions of the second kind of order 1/4, as well as for the product of a parabolic cylinder function and a modified Bessel function of the first kind of order 1/4.

研究の動機と目的

• Dν(x)Dμ(y) について、独立した次数 ν, μ および引数 x, y ≥ 0 に対する一般積分表現を導出すること。
• 次数または引数が線形的に関連づけられているか同一であると制限される既存の結果を拡張すること。
• Kummerの逐次超幾何関数表現を用いて、Dν(−x)Dμ(y) の積分表現を提供すること。
• 補完誤差関数や次数 1/4 の変形ベッセル関数といった既知の特殊関数への特殊化を可能にすること。
• 次数および引数に線形制約を課さないことで、先行するニコルソン型積分を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 既知の表現に基づき、[6] に記載された単一の放物型ケーラー関数の逆ラプラス変換を用いて、畳み込み定理を適用する。
• Dν(x) および Dμ(y) の逆ラプラス変換を用いて、有限区間における畳み込み積分を介して積を形成し、畳み込み積分を含む積分表現を得る。
• ラプラス変換の性質および超幾何恒等式を用いて、得られた被積分関数をガウス超幾何関数 2F1 で表現する。
• 既知の超幾何恒等式を用いて、被積分関数を第1種の関連ルジャンドル関数に再形式化する。
• 放物型ケーラー関数を2つのKummerの逐次超幾何関数の和に分解することで、Dν(−x)Dμ(y) に対して2つの異なる表現を導出する。
• 恒等式 Φ(a; 2a; z) = Γ(a+1/2)(z/4)^{1/2−a}exp(z/2)I_{a−1/2}(z/2) を用いて、Kummer関数と第1種の変形ベッセル関数（次数 a−1/2）を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 ν, μ および引数 x, y が互いに独立で、線形的に関連しない場合に、Dν(x)Dμ(y) の積分表現を導出可能か？
• RQ2 特にKummer関数を含む既知の特殊関数恒等式を用いて、Dν(−x)Dμ(y) をどのように表現できるか？
• RQ3 一般積分表現を特定の ν および μ の値（例：ν = μ = −1/2 または ν = μ = −1）に適用した場合に、どのような特殊化が得られるか？
• RQ4 被積分関数が、正弦の逆関数や第1種完全楕円積分といった既知の特殊関数に簡略化されるか？
• RQ5 関連ルジャンドル関数および不完全ベータ関数は、極限ケースにおける積分を簡略化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 次数 ν, μ が任意で、引数 x, y ≥ 0 である場合に、逆ラプラス変換の畳み込み定理を用いて Dν(x)Dμ(y) の積分表現を導出。ガウス超幾何関数 2F1 を含む表現が得られる。
• Dν(−x)Dμ(y) に対して、Dν(−x) を2つのKummerの逐次超幾何関数の和に分解することで、2つの異なる積分表現が得られ、それぞれ Φ(−ν/2; 1/2; z) および Φ((1−ν)/2; 3/2; z) を含む形となる。
• ν = μ = −1/2 の場合、積 D_{−1/2}(x)D_{−1/2}(y) は、次数 1/4 の第2種の変形ベッセル関数の積に簡略化され、被積分関数は第1種完全楕円積分に一致する。
• ν = μ = −1 の場合、積 D_{−1}(x)D_{−1}(y) は、2つの補完誤差関数の積の積分表現となり、被積分関数には正弦の逆関数が含まれる。
• 逆ラプラス変換に μ = −1/2 を代入することで、Dν(x)I_{1/4}(y) の表現が得られ、Kummer関数と次数 1/4 の第1種の変形ベッセル関数を結びつける。
• μ = −1 の極限ケースでは、Dν(−x)erfc(y) の積分表現が、不完全ベータ関数 B(a,b; z) に完全に還元可能であり、3つの被積分関数すべてが超幾何恒等式により B(a,b; z) に簡略化可能である。