[論文レビュー] Integral right triangle and rhombus pairs with a common area and a common perimeter

Shane Chern|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2016

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、楕円曲線の理論を用いて、同じ面積と周囲の長さを持つ無限に多くの整数辺の直角三角形とθ-整数菱形の存在を証明している。ディオファントス方程式をランク1の楕円曲線に変換することで、同次性と有理数パラメータ表示を用いて、有理数解が無限に多くのこのようなペアを生成することを示している。

ABSTRACT

We prove that there are infinitely many integral right triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter by the theory of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 同じ面積と周囲の長さを持つ無限に多くの整数辺の直角三角形と菱形が存在するかを調査すること。
• θ-整数性によるより厳しい幾何的制約を課すことによって、直角三角形と平行四辺形のペアに関する先行研究を拡張すること。
• 有理数の正弦と余弦を持つ角（有理数角）が、このような幾何的ペアの構成に果たす役割を調査すること。
• 数論的幾何的構成において、ディオファントス方程式と楕円曲線上の有理点との間の関係を確立すること。

提案手法

• パrameter u (0 < u < 1) を用いた標準的なピタゴラス数の公式を用いて、有理数の直角三角形をパラメータ表示する。
• 辺の長さ p と角 θ を用いて θ-整数菱形をモデル化し、sinθ と cosθ が有理数であるようにし、v (0 < v < 1) を用いてパラメータ表示する。
• 直角三角形と菱形の間で共通の面積と周囲の長さを等置するディオファントス方程式を導出する。
• p を方程式系から消去し、u と v の二変数二次ディオファントス方程式を得る。
• 双有理写像を用いて、ディオファントス方程式を楕円曲線 E: y² − 3xy − 12y = x³ + 6x² + 8x に写像する。
• Magma を用いて E(Q) のモーデル＝ヴェイユ群を計算し、ランク1で生成元 P = (0, 0)、および位数2の捩れ点 T = (−4, 0) を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ面積と周囲の長さを持つ無限に多くの整数辺の直角三角形とθ-整数菱形が存在するか？
• RQ2 代数幾何学と楕円曲線上の有理点を用いて、このようなペアの存在を確立できるか？
• RQ3 θ-整数性（菱形の角の正弦と余弦が有理数であること）が、このような幾何的一致を可能にする役割は何か？
• RQ4 面積と周囲の長さが等しいという条件から生じるディオファントス方程式は、指定された範囲で無限に多くの有理数解をもつか？

主な発見

• 楕円曲線 E: y² − 3xy − 12y = x³ + 6x² + 8x は、モーデル＝ヴェイユ群 E(Q) を持ち、ランク1で生成元 P = (0, 0) であり、(−4, 0) に位数2の捩れ点がある。
• 点 [4]P = (5920/4761, 5576768/328509) は逆変換により有理数解 (u, v) = (552/1105, 483/1264) に写像され、0 < u, v < 1 を満たす。
• この解は具体的な例を提供する：辺が 1832642, 2439840, 3051458 の直角三角形と、辺が 1830985、鋭角が arcsin(1221024/1830985) の菱形で、両者とも面積が 2235676628640、周囲の長さが 7323940 である。
• 補題2.1（ポアンカレ＝ハーツ）より、E(Q) が無限であり、関連領域に有理点を含むため、ディオファントス方程式は 0 < u, v < 1 を満たす無限に多くの有理数解 (u, v) を持つ。
• 辺の長さの同次性により、有理数解が無限に多くの整数辺の直角三角形とθ-整数菱形のペアを生成し、共通の面積と周囲の長さを持つ。
• この結果は、θ-整数性というより厳しい条件下でも、このようなペアが無限に存在することを確認しており、平行四辺形や長方形に関する先行研究を拡張している。