[論文レビュー] Integral structures in the $p$-adic holomorphic discrete series

Elmar Große-Klönne|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Drinfel'dの対称空間 $X$ 上の $p$-進正則離散的系列表現における $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$-同変 $\mathcal{O}_K$-格子 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_K}$ を構成し、特定の表現のクラスに対してそのコホロロジーが正の次数で消えることを証明する。構成は形式的モデル $\mathfrak{X}$ 上のトーラス同変層に依拠し、特異化ファイバー上の $U(K)$-同変ベクトル束を用いて、退化技術により消去定理を確立する。

ABSTRACT

For a local non-Archimedean field $K$ we construct ${ m GL}_{d+1}(K)$-equivariant coherent sheaves ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ on the formal ${\mathcal O}_K$-scheme ${\mathfrak X}$ underlying the symmetric space $X$ over $K$ of dimension $d$. These ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ are ${\mathcal O}_K$-lattices in (the sheaf version of) the holomorphic discrete series representations (in $K$-vector spaces) of ${ m GL}_{d+1}(K)$ as defined by P. Schneider \cite{schn}. We prove that the cohomology $H^t({\mathfrak X},{\mathcal V}_{{\mathcal O}_K})$ vanishes for $t>0$, for ${\mathcal V}_{{\mathcal O}_K}$ in a certain subclass. The proof is related to the other main topic of this paper: over a finite field $k$, the study of the cohomology of vector bundles on the natural normal crossings compactification $Y$ of the Deligne-Lusztig variety $Y^0$ for ${ m GL}_{d+1}/k$ (so $Y^0$ is the open subscheme of ${\mathbb P}_k^d$ obtained by deleting all its $k$-rational hyperplanes).

研究の動機と目的

• Drinfel'dの対称空間 $X$ 上の層論的正則離散的系列表現内に $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$-同変 $\mathcal{O}_K$-格子 $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_K}$ を構成すること。
• 特定の部分クラスの表現に対して、$t > 0$ における $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_K})$ の高次コホロロジーの消滅を確立すること。
• 既存の $d=1$ の結果を任意の $d$ に拡張し、$p$-進設定における整数構造を一般化すること。
• これらの整数構造のコホロロジーを特異化ファイバー $\mathfrak{X} \otimes k$ 上の $U(K)$-同変ベクトル束に関連付けること。
• $p$-進Langlandsプログラムおよび算術部分群の群コホモロジーへの応用のための基礎的道具を提供すること。

提案手法

• $X$ であるDrinfel'd対称空間を一般ファイバーとする $\mathcal{O}_K$-スキーム $\mathfrak{X}$ を構成し、$G = \mathrm{GL}_{d+1}(K)$-作用を備える。
• $G$-同変特異化写像を用いて、$X$ 上の $G$-同変ベクトル束 $\mathcal{V}$ を $\mathfrak{X}$ 上の連続層に持ち上げる。
• $\mathrm{GL}_d(\mathcal{O}_K)$-安定な $\mathcal{O}_K$-格子 $V_0 \subset V$ を固定し、トーラス $T_1$ による重み空間 $V_{0,\mu}$ に分解する。
• $\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}|_{\mathfrak{Y}}$ を、$V_{0,\mu} \otimes \mathcal{O}_{\mathfrak{X}} \otimes \mathcal{O}_{\widehat{K}}$ 内の $\mathcal{O}_{\mathfrak{X}} \otimes_{\mathcal{O}_K} \mathcal{O}_{\widehat{K}}$-格子の直和として定義し、重み $\mu$ によってフィルトレーションが定まる。
• $G$-安定性と貼り合わせを用いて、$\mathfrak{X}$ 全体にわたる $G$-安定な連続層への一意的拡張を行う。
• 特異化ファイバー $\mathfrak{X} \otimes k$ 上の関連する層 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ を分析し、同型とねじれ商を介してラインバンドル $\mathcal{L}_Y(D(\overline{a}(\mu), 0, 0))$ に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}_{d+1}(K)$ の $p$-進正則離散的系列表現内に $G$-同変 $\mathcal{O}_K$-格子をどのように構成できるか。
• RQ2 $t > 0$ に対してコホロロジー $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_K})$ がどのような条件下で消えるか。
• RQ3 特異化ファイバー $\mathfrak{X} \otimes k$ の構造は何か。また、$\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ 上の $U(K)$-作用がコホロロジーの消滅にどのように影響するか。
• RQ4 退化技術とBruhat-Titsのビルディング上の係数系は、これらの整数層のコホロロジーとどのように関係するか。
• RQ5 成分上での高次コホロロジーの消滅を用いて、$\mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ の基底変換公式を確立できるか。

主な発見

• $\overline{a}_j(\mu) \leq 0$ がすべての $1 \leq j \leq d$ および $V_\mu \neq 0$ であるすべての重み $\mu$ に対して成り立つ仮定のもとで、コホロロジー $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}})$ はすべての $t > 0$ で消える。
• $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}$ は $U(K)$-同変であり、特異化ファイバー $k$ への基底変換において、すべての $t > 0$ に対して $H^t(\mathfrak{X}, \mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k) = 0$ が成り立つ。
• $\overline{\mu} \in X^*(\overline{T})$ のとき、$\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes k$ は、開部分スキーム $Y$ 上でラインバンドル $\mathcal{L}_Y(D(\overline{a}(\mu), 0, 0))$ と $V_{\mu,0} \otimes_{\mathcal{O}_K} k$ のテンソル積と同型である。
• $\overline{\mu} \notin X^*(\overline{T})$ のとき、還元 $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes k$ は、$Z \in F^0$ である成分 $Z$ 上での $\mathrm{Gr}^\mu \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{X}}} \mathcal{O}_Z$ のねじれ自由商と同型である。
• Bruhat-Titsのビルディング上の係数系を用い、命題4.4と $U(K)$-同変性を組み合わせることで、すべての成分交差 $W \in F^s$ 上での高次コホロロジーの消滅が確立される。
• $t = 1$ に対して、基底変換公式 $H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k) \cong H^t(\mathfrak{X}, \mathcal{V}_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}}) \otimes_{\mathcal{O}_{\widehat{K}}} k$ が成り立ち、$t > 0$ の場合の高次消滅は、$\pi^r$-乗算を含む完全系列から従う。