[論文レビュー] Integrals of Borcherds forms

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Oct 21, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、正則化されたスカラーライトとイーゼンスタイン級数を用いて、直交シムーラ多様体上のボルチェルズ形式の対数ノルムのアラケロフ的積分に対する明示的公式を導出する。主な結果は、モジュラー形式のフーリエ係数とL関数の特別値の重み付き和として積分を表し、ヘイゲナー周期の高さおよびモジュラー3次元多様体上の算術的交差理論への応用を含む。

ABSTRACT

In his Inventiones papers in 1995 and 1998, Borcherds constructed holomorphic automorphic forms $Ψ(F)$ with product expansions on bounded domains $D$ associated to rational quadratic spaces $V$ of signature (n,2). The input $F$ for his construction is a vector valued modular form of weight $1-n/2$ for $SL_2(Z)$ which is allowed to have a pole at the cusp and whose non-positive Fourier coefficients are integers $c_μ(-m)$, $m\ge0$. For example, the divisor of $Ψ(F)$ is the sum over $m>0$ and the coset parameter $μ$ of $c_μ(-m) Z_μ(m)$ for certain rational quadratic divisors $Z_μ(m)$ on the arithmetic quotient $X = ΓD$. In this paper, we give an explicit formula for the integral $κ(Ψ(F))$ of $-\log||Ψ(F)||^2$ over $X$, where $||.||^2$ is the Petersson norm. More precisely, this integral is given by a sum over $μ$ and $m>0$ of quantities $c_μ(-m) κ_μ(m)$, where $κ_μ(m)$ is the limit as $Im(τ) -> \infty$ of the $m$th Fourier coefficient of the second term in the Laurent expansion at $s= n/2$ of a certain Eisenstein series $E(τ,s)$ of weight $n/2 + 1$ attached to $V$. It is also shown, via the Siegel--Weil formula, that the value $E(τ, n/2)$ of the Eisenstein series at this point is the generating function of the volumes of the divisors $Z_μ(m)$ with respect to a suitable Kähler form. The possible role played by the quantity $κ(Ψ(F))$ in the Arakelov theory of the divisors $Z_μ(m)$ on $X$ is explained in the last section.

研究の動機と目的

• 直交シムーラ多様体上のボルチェルズ形式の対数ノルムのアラケロフ積分を計算すること。
• この積分をイーゼンスタイン級数およびL関数の特別値に関連付けること。
• 積分とヘイゲナー周期の算術的高さとの間の関係を確立すること。
• 正則化スカラーライトを用いた直交シムーラ多様体上の算術的交差理論の枠組みを提供すること。

提案手法

• ベクトル値モジュラー形式に対する正則化積分として、ボルチェルズ形式の対数ノルムを正則化スカラーライトで表現すること。
• シーゲル＝ヴァイの公式を用いて、スカラーライトを重み $ n/2 + 1 $ のイーゼンスタイン級数に関連付けること。
• イーゼンスタイン級数を $ s = n/2 $ でローラン展開した際の2番目の項を計算し、マース作用素を用いて積分を導出すること。
• ボルチェルズの研究から得られるストークスの定理を用いて、積分と正則化の順序交換を正当化すること。
• イーゼンスタイン級数を用いたサイクル次数の生成関数を導出し、フーリエ係数とヘイゲナー除集合の体積を関連付けること。
• 積分 $ \kappa(\Psi(f)) $ をフーリエ係数 $ c_\mu(-m) $ と特別値 $ \kappa_\mu(m) $ の和として明示的に計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交シムーラ多様体上のボルチェルズ形式に対して、アラケロフ積分 $ \kappa(\Psi(f)) = -\text{vol}(X)^{-1} \int_X \log \|\Psi(z,f)\|^2 d\mu(z) $ の明示的値は何か？
• RQ2 積分式に現れる係数 $ \kappa_\mu(m) $ は、L関数の特別値および対数項とどのように関係しているか？
• RQ3 ボルチェルズ形式の対数ノルムの積分は、サイクル次数および算術的高さの線形結合として表現可能か？
• RQ4 コンact商上にモジュラー形式 $ D_B $ が存在し、$ \kappa_\mu(m) $ が $ \log(y_r |D_B(z)|) $ を含む高さに類似した項に対応するか？

主な発見

• 積分 $ \kappa(\Psi(f)) $ は $ \sum_{\mu} \sum_{m \geq 0} c_\mu(-m) \kappa_\mu(m) $ で与えられ、ここで $ \kappa_\mu(m) $ は $ s = n/2 $ におけるイーゼンスタイン級数のローラン展開の定数項および留数項によって定義される。
• $ m > 0 $ の場合、$ n=5 $、$ M=\mathbb{Z}^5 $、符号型 (3,2) の二次形式を有するとき、$ \kappa_\mu(m) = \zeta(-3)^{-1} H(2,4m) \left[ \frac{4}{3} + 2 \frac{\zeta'(-3)}{\zeta(-3)} - \frac{1}{2} \log d - \frac{L'(-1,\chi_d)}{L(-1,\chi_d)} + \sum_{p|n} \left( \log|n|_p - \frac{b'_p(n,-1)}{b_p(n,-1)} \right) \right] $ が成り立つ。
• シーゲル3次元多様体におけるハムバート面 $ H_N $ の次数は $ \deg(H_N) = -\frac{1}{12} H(2,N) $ を満たし、ヴァン・デル・ギールの結果が再現される。
• $ \kappa(\Psi(f)) $ の公式は、$ \widehat{\omega} $ を含む仮説的な算術的高さ公式と整合的であり、$ \kappa_\mu(m) $ がヘイゲナー周期の高さ $ \widehat{h}(Z(m,\phi)) $ と予想的に関係している。
• シーゲルモジュラー形式 $ \Delta_5 $ の場合、積分は $ 10 \left( -\frac{4}{3} - 2 \frac{\zeta'(-3)}{\zeta(-3)} + \frac{\zeta'(-1)}{\zeta(-1)} + \frac{3}{2} \log 2 + \log \pi \right) - 7 \log 2 $ に評価され、既知の特別値と一致する。
• 論文は、コンパクト商上にモジュラー形式 $ D_B $ が存在し、$ \kappa_\mu(m) $ が $ \sum_{z \in Z(m,\phi)} \log(y_r |D_B(z)| e^{-rC_0/2}) $ に対応すると示唆しており、非コンパクト商におけるローリヒの公式に類似している。