[論文レビュー] Integrals over Distributions, and Reparametrization Invariance of Perturbatively Defined Path Integrals

H. Kleinert, A. M. Chervyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 1999

advanced mathematical theories被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、座標空間における分布の積を統合するための単純な規則を提示し、次元正則化の結果を再現するためにD次元積分の極限としてモデル化する。この手法により、動的変数の再パrametrizationに対する摂動的経路積分の不変性が確認され、量子力学的経路積分において運動項が空間に依存するようになる場合に生じる曖昧性が解消される。

ABSTRACT

We develop simple rules for performing integrals over products of distributions in coordinate space, such as to reproduce the results of dimensional regularization of momentum space Feynman integrals. The products of distributions arise in the perturbation expansion of quantum mechanical path integrals when reparametrizing the dynamical variables, which makes the kinetic term space-dependent. The new rules serve to confirm the recently established invariance under such reparametrizations. The rules are based on considering the integrals as D-->1 -limits of D-dimensional integrals.

研究の動機と目的

• 動的変数の再パrametrizationにより運動項が空間に依存するようになる場合に生じる経路積分の定式化における曖昧性を解消すること。
• このような再パrametr化された量子力学的経路積分に現れる分布の積の積分を体系的に評価するための方法を開発すること。
• 座標空間における分布の積の積分を用いて、摂動的に定義された経路積分が再パrametrizationに対して不変であることを確認すること。
• 座標空間における分布の積の積分と運動量空間における次元正則化の結果との間の関係を確立すること。

提案手法

• 分布の積の積分を、D → 1 におけるD次元積分の極限として扱う。
• D次元積分からの解析接続技術を用いて、座標空間における特異な分布をモデル化する。
• 標準的な分布積を、D次元正則化フレームワークに埋め込むことで一般化する。
• 座標空間の定式化を用いて、運動量空間のフェ Feynman 積分の次元正則化で知られている結果を再現する。
• 再パrametrization後の運動項の構造を分析することで、分布積を導出する。
• 正則化スケール不変性を保つことで、摂動的量子場理論との一貫性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再パrametrizationにより運動項が空間に依存するようになった場合、座標空間における分布の積をどのように一貫して定義できるか？
• RQ2 運動量空間における次元正則化の結果を、座標空間における分布積の積分によって再現できるか？
• RQ3 分布積が関与する場合でも、摂動的経路積分が動的変数の再パrametrizationに対して不変のままであるか？
• RQ4 D次元正則化は、座標空間における特異な積分を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ5 座標空間における分布積は、運動量空間のフェ Feynman 積分に用いられる標準的な正則化技術とどのように関係するか？

主な発見

• 座標空間における分布の積の統合に提案された規則は、運動量空間における次元正則化の結果をうまく再現する。
• この手法により、運動項が空間に依存する場合でさえも、摂動的経路積分が動的変数の再パrametrizationに対して不変であることが確認された。
• 分布積は、D → 1 におけるD次元積分の極限として一貫して定義され、量子場理論と整合する正則化スキームを提供する。
• 非線形的な配置空間の再パrametrizationによって生じる経路積分定式化の曖昧性が、このフレームワークによって解消された。
• 座標空間における分布積分と標準的な運動量空間正則化との間の直接的な関係が確立され、形式の整合性が検証された。