[論文レビュー] Integrals over Grassmannians and Random permutations

Mark Adler, Pierre van Moerbeke|ArXiv.org|Oct 25, 2001

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多変量正規分布における標本 canonical 相関係数の分布のラプラス変換が、Painlevé型微分方程式を満たす Grassmannian 上の積分に等しくなることを示し、多変量統計における Grassmannian 上の積分とランダム語における最長増加部分列の分布との間に深い関係を確立する。主な結果は、すべての p 個の文字が登場する制約下で、(p−1)-増加部分列の長さが関与するランダム語の統計と、RSK対応および Jack 多項式を通じて超幾何関数と Schur 多項式が結びつくことである。

ABSTRACT

In testing the independence of two Gaussian populations, one computes the distribution of the sample canonical correlation coefficients, given that the actual correlation is zero. The "Laplace transform" of this distribution is not only an integral over the Grassmannian of p-dimensional planes in complex n-space, but is also related to a generalized hypergeometric function. Such integrals are solutions of Painlevé-like equations. They also have expansions, related to random words of length l formed with an alphabet of p letters. Given that each letter appears in the word, the maximal length of the disjoint union of p increasing subsequences of the word clearly equals l. But the maximal length of the disjoint union of p-1 increasing subsequences leads to a non-trivial distribution. It is precisely this probability which appears in the expansion above.

研究の動機と目的

• 多変量正規分布における標本 canonical 相関係数の分布のラプラス変換を Grassmannian 上の積分に関連付けること。
• ランダム語における最長 (p−1)-増加部分列の長さと、整数分割上の統計的分布との間の確率的関係を確立すること。
• Grassmannian 積分が KP ヒエラルキーおよび Painlevé 方程式に関連する微分方程式を満たすことを示すこと。
• すべての p 個の文字が登場する条件下で、長さ ℓ のランダム語が (p−1)-増加部分列を長さ ≤ ℓ−n+p 以下に持つ確率の明示的公式を導出すること。
• これらの確率が、Jack 多項式および対称関数の文脈において、Schur 多項式およびフック長積から生じることを示すこと。

提案手法

• p 文字のアルファベット上のランダム語を、標準的および半標準的 Young テーブルックスのペアに RSK 対応によって写像し、整数分割上の確率測度を誘導する。
• Jack 多項式および (1^p) における Schur 関数を用いて、Grassmannian 積分を分割上の期待値として表現する。
• 特に Jack 多項式を用いた対称関数の理論を応用し、一般化超幾何関数およびフック長積を含む恒等式を導出する。
• KP ヒエラルキーおよび Pfaff-KP ヒエラルキーとの関係を用いて、Grassmannian 積分の微分方程式を導出する。生成関数には Virasoro 制約が課される。
• Pfaff-KP ヒエラルキーおよび Virasoro 制約を用いて、生成関数を特徴づける。特に Jacobi 型重みに対して有効である。
• Jacobi β 積分をキーポイント例として用い、得られる積分が、重み関数の有理関数的対数微分の係数からなる明示的 Virasoro 制約を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grassmannian 上の積分は、多変量正規統計における標本 canonical 相関係数の分布とどのように関係するか？
• RQ2 すべての p 個の文字が登場する長さ ℓ のランダム語において、最長 (p−1)-増加部分列の長さの確率的意味は何か？
• RQ3 Grassmannian 積分は、超幾何関数および Painlevé 型微分方程式とどのように関係するか？
• RQ4 Jack 多項式および Schur 関数は、canonical 相関係数の分布のラプラス変換を表現する上で果たす役割は何か？
• RQ5 Virasoro 制約および Pfaff-KP ヒエラルキーは、これらの積分の生成関数をどのように特徴づけるか？

主な発見

• すべての p 個の文字が登場する長さ ℓ のランダム語 π ∈ S_ℓ^p が、長さ ≤ ℓ−n+p の (p−1)-増加部分列を持つ確率は、ℓ−p(n−p) 個の箱と列長 ≤ p を満たす分割 κ に関する和で与えられ、フック長の積および一般化 Pochhammer 記号を含む。
• Gr(p, ℂ^n) 上の Grassmannian 積分は、標本 canonical 相関係数の分布のラプラス変換に等しく、Painlevé 型微分方程式を満たす。
• Jacobi 重み ρ(z) = (1−z)^a(1+z)^b に対して、積分は、係数が g/f = (a−b + (a+b)z)/(1−z²) から得られる有理関数からなる Virasoro 制約を満たす。
• 積分の生成関数 τ_p(t) は Hirota 双線形関係を満たし、β = 1/2, 1, 2 に対して異なる形を取る。Pfaff-KP ヒエラルキーの第一方程式は明示的に与えられる。
• 条件 d_1(π) = p の下での最初の非自明なケース i_{p−1}(π) が、ランダム語が ℓ−n+p より長い (p−1)-増加部分列を持たない確率に等しいことが示された。
• μ = (n−p)^p のときの P^ℓ,p(λ ⊇ μ) の明示的公式は、ℓ−p(n−p) 個の箱を持つ分割 κ に関する和で与えられ、重みは 1/(h^κ)^2 × ((p)_κ)^2 / (n)_κ である。これにより、組合せ論と統計の間の関係が確認された。