[論文レビュー] Integrals with respect to the Euler characteristic over spaces of functions and the Alexander polynomial

Antonio Campillo, F. Delgado+1 more|ArXiv.org|May 10, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、関数空間上のオイラー乗数に関する積分と、平面上の特異点のアレクサンダー多項式（もしくはモノドロミーのゼータ関数）との間の関係を確立する。ゼータ関数を、正則関数または多項式の射影化された空間上のオイラー乗数積分として解釈することにより、モチーフ的積分の原理を用いた、ポincare級数とモノドロミー不変量との古典的結果の一般化がなされる。

ABSTRACT

We discuss some formulae which express the Alexander polynomial (and thus the zeta-function of the classical monodromy transformation) of a plane curve singularity in terms of the ring of functions on the curve. One of them describes the coefficients of the Alexander polynomial or of zeta-function of the monodromy transformation as Euler characteristics of some explicitly constructed spaces. For the Alexander polynomial these spaces are complements to arrangements of projective hyperplanes in projective spaces. For the zeta-function they are disjoint unions of such spaces. Under the influence of a result by J.Denef and F.Loeser it was understood that this results are connected with the notion of the motivic integration or rather with its version (in some sense a dual one) where the space of arcs is substituted by the space of functions. The aim of this paper is to discuss the notion of the integral with respect to the Euler characteristics (or with respect to the generalized Euler characteristic) over the space of functions (or over its projectivization) and its connection with the formulae for the coefficients of the Alexander polynomial and of the zeta-function of the monodromy transformation as Euler characteristics of some spaces. The paper will be published in Proceedings of the Steklov Mathematical Institute.

研究の動機と目的

• 関数空間上のオイラー乗数を用いたモチーフ的積分フレームワークを確立し、既知のモノドロミーのゼータ関数に関する結果を拡張すること。
• 平面上の特異点の関数環のポincare級数と、そのモノドロミー変換のゼータ関数とを、オイラー乗数積分によって結びつけること。
• 多項式の無限遠点におけるグローバルな設定にこれらの結果を一般化し、無限遠点におけるゼータ関数と極のセミグループのポincare級数との関係を明らかにすること。
• 一般化されたオイラー乗数と射影化された関数空間の使用を通じて、局所的およびグローバルな結果を統一すること。
• 関数空間上の積分不変量を通じて、アレクサンダー多項式およびモノドロミーのゼータ関数の幾何学的・位相的解釈を提供すること。

提案手法

• 曲線特異点における正則関数の局所環の射影化に一般化されたオイラー乗数を定義する。
• パラメータ表示における零点の位数を用いて、曲線上の関数環にフィルトレーションを構成する。
• このフィルトレーションのポincare級数を、値のセミグループの母関数として表現する。
• 曲線の最小埋め込み解消を用いて、セミグループとそのポincare級数を組合せ的に計算する。
• 関数空間の射影化空間上での単項式関数 $ t^{v(g)} $ の積分を、$ v(g) $ の順序のレベル集合のオイラー乗数として定義する。
• 拡張されたセミグループ上のファイブレーション構造を用いて、これらのオイラー乗数の母関数がモノドロミー変換のゼータ関数に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の特異点のモノドロミー変換のゼータ関数は、関数空間上のオイラー乗数積分としてどのように表現できるか？
• RQ2 曲線特異点の関数環のポincare級数と、そのモノドロミーのゼータ関数との関係は何か？
• RQ3 多項式の無限遠点におけるグローバルなモノドロミーのゼータ関数は、多項式空間上のオイラー乗数積分として解釈可能か？
• RQ4 解消グラフと値のセミグループは、これらの積分およびその母関数の構造とどのように関係するか？
• RQ5 モチーフ的積分およびその双対的定式化は、位相的不変量と関数空間の代数的データを結ぶ上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非可約な平面上の特異点のモノドロミー変換のゼータ関数は、正則関数の局所環の射影化空間上の $ t^{v(g)} $ の積分に等しい：$ \zeta_C(t) = \int_{{P}{\mathcal{O}}_{{C}^2,0}} t^{v(g)} d\chi $。
• $ r > 1 $ の場合、多変数母関数 $ \Delta^C(t_1,\ldots,t_r) $ は積分 $ \int_{{P}{\mathcal{O}}_{{C}^2,0}} {\underline{t}}^{{\underline{v}}(g)} d\chi $ として現れ、これはセミグループの多変数ポincare級数に対応する。
• 多項式 $ F(x,y) $ の無限遠点における極のセミグループのポincare級数 $ P_\Gamma(t) $ は、無限遠点におけるモノドロミーのゼータ関数 $ \zeta_F^\infty(t) $ と一致する。
• 積分 $ \int_{{P}{\mathbb{C}}[x,y]} t^{-v(H)} d\chi $ は $ \zeta_F^\infty(t) $ に等しく、これは局所的結果のグローバルな類似である。
• ジェット空間におけるレベル集合の局所的自明なファイブレーション構造のおかげで、積分は適切に定義されており、有限次元のファイバーと計算可能なオイラー乗数を保証する。
• 結果は、解消グラフの組合せ的構造とアブハンカル＝モーの定理（値のセミグループおよび極の記述）を用いて証明される。